Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14411 / 21425
↖ ↑ ↗
← S 48.348948°
W 21.676025°		 ← 811.89 m → S 48.348948°
W 21.665039°		 →
↑
811.86 m
↓
↑
811.86 m
↓
S 48.356249°
W 21.676025°		 ← 811.78 m →
659 093 m²		 S 48.356249°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439804077148438 y=0.653854370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439804077148438 × 215)
    floor (0.439804077148438 × 32768)
    floor (14411.5)     		tx = 14411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653854370117188 × 215)
    floor (0.653854370117188 × 32768)
    floor (21425.5)     		ty = 21425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14411 / 21425 ti = "15/14411/21425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14411/21425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14411 ÷ 215
    14411 ÷ 32768     		x = 0.439788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21425 ÷ 215
    21425 ÷ 32768     		y = 0.653839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.12042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37831801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.30767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.966599643938812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37831801} λ = -0.37831801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966599643938812))-π/2
    2×atan(0.380374249454752)-π/2
    2×0.363473996086641-π/2
    0.726947992173282-1.57079632675     		φ = -0.84384833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37831801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84384833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.348948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14411 KachelY 21425 -0.37831801 -0.84384833 -21.676025 -48.348948
    Oben rechts KachelX + 1 14412 KachelY 21425 -0.37812626 -0.84384833 -21.665039 -48.348948
    Unten links KachelX 14411 KachelY + 1 21426 -0.37831801 -0.84397576 -21.676025 -48.356249
    Unten rechts KachelX + 1 14412 KachelY + 1 21426 -0.37812626 -0.84397576 -21.665039 -48.356249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84384833--0.84397576) × R
    0.000127429999999928 × 6371000     		dl = 811.856529999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84384833--0.84397576) × R
    0.000127429999999928 × 6371000     		dr = 811.856529999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37831801--0.37812626) × cos(-0.84384833) × R
    0.000191749999999991 × 0.664592258019345 × 6371000     		do = 811.891987642519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37831801--0.37812626) × cos(-0.84397576) × R
    0.000191749999999991 × 0.664497036135423 × 6371000     		du = 811.775660851661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84384833)-sin(-0.84397576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664592258019345-0.664497036135423)×R²
    abs(-0.37812626--0.37831801)×9.52218839215258e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52218839215258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52218839215258e-05×40589641000000     		ar = 659092.592381235m²