Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14411 / 14317
↖ ↑ ↗
← N 70.647231°
W100.838013°		 ← 202.40 m → N 70.647231°
W100.832520°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
N 70.645410°
W100.838013°		 ← 202.42 m →
40 970 m²		 N 70.645410°
W100.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219902038574219 y=0.218467712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219902038574219 × 216)
    floor (0.219902038574219 × 65536)
    floor (14411.5)     		tx = 14411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218467712402344 × 216)
    floor (0.218467712402344 × 65536)
    floor (14317.5)     		ty = 14317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14411 / 14317 ti = "16/14411/14317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14411/14317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14411 ÷ 216
    14411 ÷ 65536     		x = 0.219894409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14317 ÷ 216
    14317 ÷ 65536     		y = 0.218460083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219894409179688 × 2 - 1) × π
    -0.560211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75995533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218460083007812 × 2 - 1) × π
    0.563079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76896746977931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75995533} λ = -1.75995533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76896746977931))-π/2
    2×atan(5.86479465630207)-π/2
    2×1.40191155328422-π/2
    2.80382310656844-1.57079632675     		φ = 1.23302678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75995533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23302678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.647231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14411 KachelY 14317 -1.75995533 1.23302678 -100.838013 70.647231
    Oben rechts KachelX + 1 14412 KachelY 14317 -1.75985946 1.23302678 -100.832520 70.647231
    Unten links KachelX 14411 KachelY + 1 14318 -1.75995533 1.23299501 -100.838013 70.645410
    Unten rechts KachelX + 1 14412 KachelY + 1 14318 -1.75985946 1.23299501 -100.832520 70.645410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23302678-1.23299501) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dl = 202.406670000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23302678-1.23299501) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dr = 202.406670000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75995533--1.75985946) × cos(1.23302678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331383494183271 × 6371000     		do = 202.404985427004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75995533--1.75985946) × cos(1.23299501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331413468888624 × 6371000     		du = 202.423293610443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23302678)-sin(1.23299501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331383494183271-0.331413468888624)×R²
    abs(-1.75985946--1.75995533)×2.9974705353486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9974705353486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9974705353486e-05×40589641000000     		ar = 40969.9719446362m²