Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14410 / 21079
↖ ↑ ↗
← S 45.759859°
W 21.687012°		 ← 852.30 m → S 45.759859°
W 21.676025°		 →
↑
852.25 m
↓
↑
852.25 m
↓
S 45.767523°
W 21.687012°		 ← 852.18 m →
726 320 m²		 S 45.767523°
W 21.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439773559570312 y=0.643295288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439773559570312 × 215)
    floor (0.439773559570312 × 32768)
    floor (14410.5)     		tx = 14410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643295288085938 × 215)
    floor (0.643295288085938 × 32768)
    floor (21079.5)     		ty = 21079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14410 / 21079 ti = "15/14410/21079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14410/21079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14410 ÷ 215
    14410 ÷ 32768     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21079 ÷ 215
    21079 ÷ 32768     		y = 0.643280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.28656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900254974864655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900254974864655))-π/2
    2×atan(0.406466007911501)-π/2
    2×0.386068063731217-π/2
    0.772136127462434-1.57079632675     		φ = -0.79866020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79866020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.759859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14410 KachelY 21079 -0.37850976 -0.79866020 -21.687012 -45.759859
    Oben rechts KachelX + 1 14411 KachelY 21079 -0.37831801 -0.79866020 -21.676025 -45.759859
    Unten links KachelX 14410 KachelY + 1 21080 -0.37850976 -0.79879397 -21.687012 -45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 14411 KachelY + 1 21080 -0.37831801 -0.79879397 -21.676025 -45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79866020--0.79879397) × R
    0.000133769999999922 × 6371000     		dl = 852.248669999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79866020--0.79879397) × R
    0.000133769999999922 × 6371000     		dr = 852.248669999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37831801) × cos(-0.79866020) × R
    0.000191749999999991 × 0.697667197433723 × 6371000     		do = 852.297631822493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37831801) × cos(-0.79879397) × R
    0.000191749999999991 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 852.180547457877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79866020)-sin(-0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697667197433723-0.697571355420939)×R²
    abs(-0.37831801--0.37850976)×9.58420127836757e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58420127836757e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58420127836757e-05×40589641000000     		ar = 726319.631750079m²