Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14410 / 11094
↖ ↑ ↗
← N 50.134664°
W 21.687012°		 ← 783.05 m → N 50.134664°
W 21.676025°		 →
↑
783.06 m
↓
↑
783.06 m
↓
N 50.127622°
W 21.687012°		 ← 783.17 m →
613 222 m²		 N 50.127622°
W 21.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439773559570312 y=0.338577270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439773559570312 × 215)
    floor (0.439773559570312 × 32768)
    floor (14410.5)     		tx = 14410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338577270507812 × 215)
    floor (0.338577270507812 × 32768)
    floor (11094.5)     		ty = 11094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14410 / 11094 ti = "15/14410/11094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14410/11094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14410 ÷ 215
    14410 ÷ 32768     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11094 ÷ 215
    11094 ÷ 32768     		y = 0.33856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33856201171875 × 2 - 1) × π
    0.3228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01434479596039))-π/2
    2×atan(2.757556043489)-π/2
    2×1.22290564429013-π/2
    2.44581128858026-1.57079632675     		φ = 0.87501496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87501496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.134664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14410 KachelY 11094 -0.37850976 0.87501496 -21.687012 50.134664
    Oben rechts KachelX + 1 14411 KachelY 11094 -0.37831801 0.87501496 -21.676025 50.134664
    Unten links KachelX 14410 KachelY + 1 11095 -0.37850976 0.87489205 -21.687012 50.127622
    Unten rechts KachelX + 1 14411 KachelY + 1 11095 -0.37831801 0.87489205 -21.676025 50.127622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87501496-0.87489205) × R
    0.000122909999999976 × 6371000     		dl = 783.059609999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87501496-0.87489205) × R
    0.000122909999999976 × 6371000     		dr = 783.059609999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37831801) × cos(0.87501496) × R
    0.000191749999999991 × 0.640985375640804 × 6371000     		do = 783.052893558761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37831801) × cos(0.87489205) × R
    0.000191749999999991 × 0.641079710749398 × 6371000     		du = 783.168137030072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87501496)-sin(0.87489205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640985375640804-0.641079710749398)×R²
    abs(-0.37831801--0.37850976)×9.43351085934685e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43351085934685e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43351085934685e-05×40589641000000     		ar = 613222.21546523m²