Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14409 / 9554
↖ ↑ ↗
← N 59.789580°
W 21.697998°		 ← 614.70 m → N 59.789580°
W 21.687012°		 →
↑
614.74 m
↓
↑
614.74 m
↓
N 59.784052°
W 21.697998°		 ← 614.80 m →
377 911 m²		 N 59.784052°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439743041992188 y=0.291580200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439743041992188 × 215)
    floor (0.439743041992188 × 32768)
    floor (14409.5)     		tx = 14409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291580200195312 × 215)
    floor (0.291580200195312 × 32768)
    floor (9554.5)     		ty = 9554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14409 / 9554 ti = "15/14409/9554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14409/9554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14409 ÷ 215
    14409 ÷ 32768     		x = 0.439727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9554 ÷ 215
    9554 ÷ 32768     		y = 0.29156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.12054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37870151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29156494140625 × 2 - 1) × π
    0.4168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30963609761993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37870151} λ = -0.37870151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30963609761993))-π/2
    2×atan(3.70482527214054)-π/2
    2×1.30716067768837-π/2
    2.61432135537674-1.57079632675     		φ = 1.04352503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37870151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04352503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.789580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14409 KachelY 9554 -0.37870151 1.04352503 -21.697998 59.789580
    Oben rechts KachelX + 1 14410 KachelY 9554 -0.37850976 1.04352503 -21.687012 59.789580
    Unten links KachelX 14409 KachelY + 1 9555 -0.37870151 1.04342854 -21.697998 59.784052
    Unten rechts KachelX + 1 14410 KachelY + 1 9555 -0.37850976 1.04342854 -21.687012 59.784052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04352503-1.04342854) × R
    9.64900000000046e-05 × 6371000     		dl = 614.737790000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04352503-1.04342854) × R
    9.64900000000046e-05 × 6371000     		dr = 614.737790000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(1.04352503) × R
    0.000191750000000046 × 0.503177117653555 × 6371000     		do = 614.700916627599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(1.04342854) × R
    0.000191750000000046 × 0.503260500358358 × 6371000     		du = 614.802780212557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04352503)-sin(1.04342854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503177117653555-0.503260500358358)×R²
    abs(-0.37850976--0.37870151)×8.33827048025704e-05×R²
    0.000191750000000046×8.33827048025704e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.33827048025704e-05×40589641000000     		ar = 377911.192988997m²