Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14409 / 21720
↖ ↑ ↗
← S 50.457504°
W 21.697998°		 ← 777.76 m → S 50.457504°
W 21.687012°		 →
↑
777.64 m
↓
↑
777.64 m
↓
S 50.464498°
W 21.697998°		 ← 777.64 m →
604 774 m²		 S 50.464498°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439743041992188 y=0.662857055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439743041992188 × 215)
    floor (0.439743041992188 × 32768)
    floor (14409.5)     		tx = 14409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662857055664062 × 215)
    floor (0.662857055664062 × 32768)
    floor (21720.5)     		ty = 21720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14409 / 21720 ti = "15/14409/21720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14409/21720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14409 ÷ 215
    14409 ÷ 32768     		x = 0.439727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21720 ÷ 215
    21720 ÷ 32768     		y = 0.662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.12054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37870151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.32568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02316518549048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37870151} λ = -0.37870151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02316518549048))-π/2
    2×atan(0.359455394688288)-π/2
    2×0.34507337465945-π/2
    0.6901467493189-1.57079632675     		φ = -0.88064958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37870151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88064958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.457504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14409 KachelY 21720 -0.37870151 -0.88064958 -21.697998 -50.457504
    Oben rechts KachelX + 1 14410 KachelY 21720 -0.37850976 -0.88064958 -21.687012 -50.457504
    Unten links KachelX 14409 KachelY + 1 21721 -0.37870151 -0.88077164 -21.697998 -50.464498
    Unten rechts KachelX + 1 14410 KachelY + 1 21721 -0.37850976 -0.88077164 -21.687012 -50.464498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88064958--0.88077164) × R
    0.000122059999999924 × 6371000     		dl = 777.644259999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88064958--0.88077164) × R
    0.000122059999999924 × 6371000     		dr = 777.644259999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(-0.88064958) × R
    0.000191750000000046 × 0.636650353248546 × 6371000     		do = 777.757060054975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(-0.88077164) × R
    0.000191750000000046 × 0.636556221620188 × 6371000     		du = 777.642065163107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88064958)-sin(-0.88077164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636650353248546-0.636556221620188)×R²
    abs(-0.37850976--0.37870151)×9.41316283573634e-05×R²
    0.000191750000000046×9.41316283573634e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.41316283573634e-05×40589641000000     		ar = 604773.601618331m²