Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14409 / 11099
↖ ↑ ↗
← N 50.099441°
W 21.697998°		 ← 783.63 m → N 50.099441°
W 21.687012°		 →
↑
783.70 m
↓
↑
783.70 m
↓
N 50.092393°
W 21.697998°		 ← 783.74 m →
614 173 m²		 N 50.092393°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439743041992188 y=0.338729858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439743041992188 × 215)
    floor (0.439743041992188 × 32768)
    floor (14409.5)     		tx = 14409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338729858398438 × 215)
    floor (0.338729858398438 × 32768)
    floor (11099.5)     		ty = 11099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14409 / 11099 ti = "15/14409/11099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14409/11099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14409 ÷ 215
    14409 ÷ 32768     		x = 0.439727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11099 ÷ 215
    11099 ÷ 32768     		y = 0.338714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.12054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37870151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338714599609375 × 2 - 1) × π
    0.32257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01338605796799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37870151} λ = -0.37870151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01338605796799))-π/2
    2×atan(2.75491353668218)-π/2
    2×1.22259826270957-π/2
    2.44519652541915-1.57079632675     		φ = 0.87440020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37870151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87440020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.099441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14409 KachelY 11099 -0.37870151 0.87440020 -21.697998 50.099441
    Oben rechts KachelX + 1 14410 KachelY 11099 -0.37850976 0.87440020 -21.687012 50.099441
    Unten links KachelX 14409 KachelY + 1 11100 -0.37870151 0.87427719 -21.697998 50.092393
    Unten rechts KachelX + 1 14410 KachelY + 1 11100 -0.37850976 0.87427719 -21.687012 50.092393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87440020-0.87427719) × R
    0.000123009999999923 × 6371000     		dl = 783.696709999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87440020-0.87427719) × R
    0.000123009999999923 × 6371000     		dr = 783.696709999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(0.87440020) × R
    0.000191750000000046 × 0.641457115425838 × 6371000     		do = 783.629189396173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(0.87427719) × R
    0.000191750000000046 × 0.641551478788094 × 6371000     		du = 783.744467383266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87440020)-sin(0.87427719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641457115425838-0.641551478788094)×R²
    abs(-0.37850976--0.37870151)×9.43633622556561e-05×R²
    0.000191750000000046×9.43633622556561e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.43633622556561e-05×40589641000000     		ar = 614172.789853141m²