Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14409 / 11095
↖ ↑ ↗
← N 50.127622°
W 21.697998°		 ← 783.17 m → N 50.127622°
W 21.687012°		 →
↑
783.25 m
↓
↑
783.25 m
↓
N 50.120578°
W 21.697998°		 ← 783.28 m →
613 462 m²		 N 50.120578°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439743041992188 y=0.338607788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439743041992188 × 215)
    floor (0.439743041992188 × 32768)
    floor (14409.5)     		tx = 14409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338607788085938 × 215)
    floor (0.338607788085938 × 32768)
    floor (11095.5)     		ty = 11095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14409 / 11095 ti = "15/14409/11095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14409/11095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14409 ÷ 215
    14409 ÷ 32768     		x = 0.439727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11095 ÷ 215
    11095 ÷ 32768     		y = 0.338592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.12054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37870151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338592529296875 × 2 - 1) × π
    0.32281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01415304836191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37870151} λ = -0.37870151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01415304836191))-π/2
    2×atan(2.75702733943048)-π/2
    2×1.2228441860647-π/2
    2.44568837212941-1.57079632675     		φ = 0.87489205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37870151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87489205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.127622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14409 KachelY 11095 -0.37870151 0.87489205 -21.697998 50.127622
    Oben rechts KachelX + 1 14410 KachelY 11095 -0.37850976 0.87489205 -21.687012 50.127622
    Unten links KachelX 14409 KachelY + 1 11096 -0.37870151 0.87476911 -21.697998 50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 14410 KachelY + 1 11096 -0.37850976 0.87476911 -21.687012 50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87489205-0.87476911) × R
    0.000122940000000016 × 6371000     		dl = 783.250740000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87489205-0.87476911) × R
    0.000122940000000016 × 6371000     		dr = 783.250740000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(0.87489205) × R
    0.000191750000000046 × 0.641079710749398 × 6371000     		do = 783.168137030299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37870151--0.37850976) × cos(0.87476911) × R
    0.000191750000000046 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 783.283396794806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87489205)-sin(0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641079710749398-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.37850976--0.37870151)×9.43484457515131e-05×R²
    0.000191750000000046×9.43484457515131e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.43484457515131e-05×40589641000000     		ar = 613462.162294239m²