Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14408 / 9561
↖ ↑ ↗
← N 59.750861°
W 21.708984°		 ← 615.38 m → N 59.750861°
W 21.697998°		 →
↑
615.50 m
↓
↑
615.50 m
↓
N 59.745326°
W 21.708984°		 ← 615.48 m →
378 800 m²		 N 59.745326°
W 21.697998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439712524414062 y=0.291793823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439712524414062 × 215)
    floor (0.439712524414062 × 32768)
    floor (14408.5)     		tx = 14408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291793823242188 × 215)
    floor (0.291793823242188 × 32768)
    floor (9561.5)     		ty = 9561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14408 / 9561 ti = "15/14408/9561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14408/9561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14408 ÷ 215
    14408 ÷ 32768     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9561 ÷ 215
    9561 ÷ 32768     		y = 0.291778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291778564453125 × 2 - 1) × π
    0.41644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30829386443057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30829386443057))-π/2
    2×atan(3.69985586849481)-π/2
    2×1.30682279127418-π/2
    2.61364558254836-1.57079632675     		φ = 1.04284926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04284926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.750861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14408 KachelY 9561 -0.37889325 1.04284926 -21.708984 59.750861
    Oben rechts KachelX + 1 14409 KachelY 9561 -0.37870151 1.04284926 -21.697998 59.750861
    Unten links KachelX 14408 KachelY + 1 9562 -0.37889325 1.04275265 -21.708984 59.745326
    Unten rechts KachelX + 1 14409 KachelY + 1 9562 -0.37870151 1.04275265 -21.697998 59.745326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04284926-1.04275265) × R
    9.66099999999415e-05 × 6371000     		dl = 615.502309999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04284926-1.04275265) × R
    9.66099999999415e-05 × 6371000     		dr = 615.502309999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37870151) × cos(1.04284926) × R
    0.000191739999999996 × 0.503760991870838 × 6371000     		do = 615.382105675541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37870151) × cos(1.04275265) × R
    0.000191739999999996 × 0.50384444539953 × 6371000     		du = 615.484050464918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04284926)-sin(1.04275265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503760991870838-0.50384444539953)×R²
    abs(-0.37870151--0.37889325)×8.34535286921012e-05×R²
    0.000191739999999996×8.34535286921012e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.34535286921012e-05×40589641000000     		ar = 378800.481497072m²