Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14407 / 7414
↖ ↑ ↗
← N 69.695245°
W 21.719971°		 ← 423.93 m → N 69.695245°
W 21.708984°		 →
↑
423.93 m
↓
↑
423.93 m
↓
N 69.691432°
W 21.719971°		 ← 424 m →
179 729 m²		 N 69.691432°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439682006835938 y=0.226272583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439682006835938 × 215)
    floor (0.439682006835938 × 32768)
    floor (14407.5)     		tx = 14407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226272583007812 × 215)
    floor (0.226272583007812 × 32768)
    floor (7414.5)     		ty = 7414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14407 / 7414 ti = "15/14407/7414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14407/7414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14407 ÷ 215
    14407 ÷ 32768     		x = 0.439666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7414 ÷ 215
    7414 ÷ 32768     		y = 0.22625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.12066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37908500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22625732421875 × 2 - 1) × π
    0.5474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71997595836761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37908500} λ = -0.37908500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71997595836761))-π/2
    2×atan(5.58439420470959)-π/2
    2×1.39360390911455-π/2
    2.7872078182291-1.57079632675     		φ = 1.21641149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37908500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.719971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21641149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.695245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14407 KachelY 7414 -0.37908500 1.21641149 -21.719971 69.695245
    Oben rechts KachelX + 1 14408 KachelY 7414 -0.37889325 1.21641149 -21.708984 69.695245
    Unten links KachelX 14407 KachelY + 1 7415 -0.37908500 1.21634495 -21.719971 69.691432
    Unten rechts KachelX + 1 14408 KachelY + 1 7415 -0.37889325 1.21634495 -21.708984 69.691432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21641149-1.21634495) × R
    6.65399999999483e-05 × 6371000     		dl = 423.926339999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21641149-1.21634495) × R
    6.65399999999483e-05 × 6371000     		dr = 423.926339999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37908500--0.37889325) × cos(1.21641149) × R
    0.000191749999999991 × 0.347013493884274 × 6371000     		do = 423.925304408644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37908500--0.37889325) × cos(1.21634495) × R
    0.000191749999999991 × 0.347075898329477 × 6371000     		du = 424.001540128278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21641149)-sin(1.21634495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347013493884274-0.347075898329477)×R²
    abs(-0.37889325--0.37908500)×6.24044452027239e-05×R²
    0.000191749999999991×6.24044452027239e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.24044452027239e-05×40589641000000     		ar = 179729.261962551m²