Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14407 / 11034
↖ ↑ ↗
← N 50.555325°
W 21.719971°		 ← 776.15 m → N 50.555325°
W 21.708984°		 →
↑
776.24 m
↓
↑
776.24 m
↓
N 50.548344°
W 21.719971°		 ← 776.26 m →
602 523 m²		 N 50.548344°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439682006835938 y=0.336746215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439682006835938 × 215)
    floor (0.439682006835938 × 32768)
    floor (14407.5)     		tx = 14407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336746215820312 × 215)
    floor (0.336746215820312 × 32768)
    floor (11034.5)     		ty = 11034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14407 / 11034 ti = "15/14407/11034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14407/11034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14407 ÷ 215
    14407 ÷ 32768     		x = 0.439666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11034 ÷ 215
    11034 ÷ 32768     		y = 0.33673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.12066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37908500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33673095703125 × 2 - 1) × π
    0.3265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37908500} λ = -0.37908500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0258496518692))-π/2
    2×atan(2.78946452773222)-π/2
    2×1.22657660106849-π/2
    2.45315320213698-1.57079632675     		φ = 0.88235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37908500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.719971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.555325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14407 KachelY 11034 -0.37908500 0.88235688 -21.719971 50.555325
    Oben rechts KachelX + 1 14408 KachelY 11034 -0.37889325 0.88235688 -21.708984 50.555325
    Unten links KachelX 14407 KachelY + 1 11035 -0.37908500 0.88223504 -21.719971 50.548344
    Unten rechts KachelX + 1 14408 KachelY + 1 11035 -0.37889325 0.88223504 -21.708984 50.548344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88235688-0.88223504) × R
    0.00012184000000004 × 6371000     		dl = 776.242640000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88235688-0.88223504) × R
    0.00012184000000004 × 6371000     		dr = 776.242640000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37908500--0.37889325) × cos(0.88235688) × R
    0.000191749999999991 × 0.63533283718214 × 6371000     		do = 776.147530715524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37908500--0.37889325) × cos(0.88223504) × R
    0.000191749999999991 × 0.635426921995931 × 6371000     		du = 776.26246841688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88235688)-sin(0.88223504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63533283718214-0.635426921995931)×R²
    abs(-0.37889325--0.37908500)×9.40848137909178e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40848137909178e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40848137909178e-05×40589641000000     		ar = 602523.418789513m²