Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14406 / 9542
↖ ↑ ↗
← N 59.855851°
W 21.730957°		 ← 613.48 m → N 59.855851°
W 21.719971°		 →
↑
613.53 m
↓
↑
613.53 m
↓
N 59.850333°
W 21.730957°		 ← 613.58 m →
376 418 m²		 N 59.850333°
W 21.719971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439651489257812 y=0.291213989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439651489257812 × 215)
    floor (0.439651489257812 × 32768)
    floor (14406.5)     		tx = 14406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291213989257812 × 215)
    floor (0.291213989257812 × 32768)
    floor (9542.5)     		ty = 9542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14406 / 9542 ti = "15/14406/9542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14406/9542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14406 ÷ 215
    14406 ÷ 32768     		x = 0.43963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9542 ÷ 215
    9542 ÷ 32768     		y = 0.29119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37927675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29119873046875 × 2 - 1) × π
    0.4176025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3119370688017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37927675} λ = -0.37927675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3119370688017))-π/2
    2×atan(3.71335978339195)-π/2
    2×1.30773900040755-π/2
    2.6154780008151-1.57079632675     		φ = 1.04468167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37927675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04468167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.855851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14406 KachelY 9542 -0.37927675 1.04468167 -21.730957 59.855851
    Oben rechts KachelX + 1 14407 KachelY 9542 -0.37908500 1.04468167 -21.719971 59.855851
    Unten links KachelX 14406 KachelY + 1 9543 -0.37927675 1.04458537 -21.730957 59.850333
    Unten rechts KachelX + 1 14407 KachelY + 1 9543 -0.37908500 1.04458537 -21.719971 59.850333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04468167-1.04458537) × R
    9.62999999998271e-05 × 6371000     		dl = 613.527299998898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04468167-1.04458537) × R
    9.62999999998271e-05 × 6371000     		dr = 613.527299998898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37927675--0.37908500) × cos(1.04468167) × R
    0.000191749999999991 × 0.502177232316916 × 6371000     		do = 613.479417454683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37927675--0.37908500) × cos(1.04458537) × R
    0.000191749999999991 × 0.502260506831161 × 6371000     		du = 613.581148869809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04468167)-sin(1.04458537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502177232316916-0.502260506831161)×R²
    abs(-0.37908500--0.37927675)×8.32745142447244e-05×R²
    0.000191749999999991×8.32745142447244e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.32745142447244e-05×40589641000000     		ar = 376417.57838731m²