Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14406 / 14403
↖ ↑ ↗
← N 70.490070°
W100.865478°		 ← 203.98 m → N 70.490070°
W100.859985°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 70.488236°
W100.865478°		 ← 204 m →
41 615 m²		 N 70.488236°
W100.859985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219825744628906 y=0.219779968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219825744628906 × 216)
    floor (0.219825744628906 × 65536)
    floor (14406.5)     		tx = 14406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219779968261719 × 216)
    floor (0.219779968261719 × 65536)
    floor (14403.5)     		ty = 14403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14406 / 14403 ti = "16/14406/14403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14406/14403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14406 ÷ 216
    14406 ÷ 65536     		x = 0.219818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14403 ÷ 216
    14403 ÷ 65536     		y = 0.219772338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.56036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76043470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219772338867188 × 2 - 1) × π
    0.560455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76072232304466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76043470} λ = -1.76043470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76072232304466))-π/2
    2×atan(5.81663736856467)-π/2
    2×1.40054007459458-π/2
    2.80108014918917-1.57079632675     		φ = 1.23028382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76043470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.865478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23028382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.490070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14406 KachelY 14403 -1.76043470 1.23028382 -100.865478 70.490070
    Oben rechts KachelX + 1 14407 KachelY 14403 -1.76033883 1.23028382 -100.859985 70.490070
    Unten links KachelX 14406 KachelY + 1 14404 -1.76043470 1.23025180 -100.865478 70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 14407 KachelY + 1 14404 -1.76033883 1.23025180 -100.859985 70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23028382-1.23025180) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dl = 203.99941999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23028382-1.23025180) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dr = 203.99941999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76043470--1.76033883) × cos(1.23028382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333970216494272 × 6371000     		do = 203.984923778949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76043470--1.76033883) × cos(1.23025180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 204.003358182403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23028382)-sin(1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333970216494272-0.334000397850807)×R²
    abs(-1.76033883--1.76043470)×3.01813565350417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01813565350417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01813565350417e-05×40589641000000     		ar = 41614.6864466171m²