Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14405 / 21190
↖ ↑ ↗
← S 46.604167°
W 21.741944°		 ← 839.31 m → S 46.604167°
W 21.730957°		 →
↑
839.25 m
↓
↑
839.25 m
↓
S 46.611715°
W 21.741944°		 ← 839.19 m →
704 342 m²		 S 46.611715°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439620971679688 y=0.646682739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439620971679688 × 215)
    floor (0.439620971679688 × 32768)
    floor (14405.5)     		tx = 14405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646682739257812 × 215)
    floor (0.646682739257812 × 32768)
    floor (21190.5)     		ty = 21190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14405 / 21190 ti = "15/14405/21190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14405/21190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14405 ÷ 215
    14405 ÷ 32768     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21190 ÷ 215
    21190 ÷ 32768     		y = 0.64666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.2933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.921538958295959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921538958295959))-π/2
    2×atan(0.397906208582923)-π/2
    2×0.378700082335004-π/2
    0.757400164670007-1.57079632675     		φ = -0.81339616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81339616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.604167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14405 KachelY 21190 -0.37946850 -0.81339616 -21.741944 -46.604167
    Oben rechts KachelX + 1 14406 KachelY 21190 -0.37927675 -0.81339616 -21.730957 -46.604167
    Unten links KachelX 14405 KachelY + 1 21191 -0.37946850 -0.81352789 -21.741944 -46.611715
    Unten rechts KachelX + 1 14406 KachelY + 1 21191 -0.37927675 -0.81352789 -21.730957 -46.611715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81339616--0.81352789) × R
    0.000131729999999997 × 6371000     		dl = 839.251829999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81339616--0.81352789) × R
    0.000131729999999997 × 6371000     		dr = 839.251829999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37927675) × cos(-0.81339616) × R
    0.000191749999999991 × 0.687034666250029 × 6371000     		do = 839.308514401644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37927675) × cos(-0.81352789) × R
    0.000191749999999991 × 0.686938942025501 × 6371000     		du = 839.191573931785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81339616)-sin(-0.81352789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687034666250029-0.686938942025501)×R²
    abs(-0.37927675--0.37946850)×9.572422452786e-05×R²
    0.000191749999999991×9.572422452786e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.572422452786e-05×40589641000000     		ar = 704342.136412933m²