Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14405 / 17091
↖ ↑ ↗
← N 78.800380°
W140.435486°		 ← 59.31 m → N 78.800380°
W140.432739°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.799846°
W140.435486°		 ← 59.31 m →
3 518 m²		 N 78.799846°
W140.432739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109905242919922 y=0.130397796630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109905242919922 × 217)
    floor (0.109905242919922 × 131072)
    floor (14405.5)     		tx = 14405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130397796630859 × 217)
    floor (0.130397796630859 × 131072)
    floor (17091.5)     		ty = 17091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14405 / 17091 ti = "17/14405/17091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14405/17091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14405 ÷ 217
    14405 ÷ 131072     		x = 0.109901428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17091 ÷ 217
    17091 ÷ 131072     		y = 0.130393981933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109901428222656 × 2 - 1) × π
    -0.780197143554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.45106161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130393981933594 × 2 - 1) × π
    0.739212036132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.32230310209362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45106161} λ = -2.45106161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32230310209362))-π/2
    2×atan(10.1991369309108)-π/2
    2×1.47306120217201-π/2
    2.94612240434402-1.57079632675     		φ = 1.37532608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45106161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.435486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37532608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.800380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14405 KachelY 17091 -2.45106161 1.37532608 -140.435486 78.800380
    Oben rechts KachelX + 1 14406 KachelY 17091 -2.45101368 1.37532608 -140.432739 78.800380
    Unten links KachelX 14405 KachelY + 1 17092 -2.45106161 1.37531677 -140.435486 78.799846
    Unten rechts KachelX + 1 14406 KachelY + 1 17092 -2.45101368 1.37531677 -140.432739 78.799846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37532608-1.37531677) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37532608-1.37531677) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45106161--2.45101368) × cos(1.37532608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194227848043671 × 6371000     		do = 59.3098099611831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45106161--2.45101368) × cos(1.37531677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194236980739737 × 6371000     		du = 59.3125987397934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37532608)-sin(1.37531677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194227848043671-0.194236980739737)×R²
    abs(-2.45101368--2.45106161)×9.13269606669931e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.13269606669931e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.13269606669931e-06×40589641000000     		ar = 3517.98536786452m²