Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14405 / 11033
↖ ↑ ↗
← N 50.562304°
W 21.741944°		 ← 776.03 m → N 50.562304°
W 21.730957°		 →
↑
776.05 m
↓
↑
776.05 m
↓
N 50.555325°
W 21.741944°		 ← 776.15 m →
602 286 m²		 N 50.555325°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439620971679688 y=0.336715698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439620971679688 × 215)
    floor (0.439620971679688 × 32768)
    floor (14405.5)     		tx = 14405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336715698242188 × 215)
    floor (0.336715698242188 × 32768)
    floor (11033.5)     		ty = 11033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14405 / 11033 ti = "15/14405/11033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14405/11033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14405 ÷ 215
    14405 ÷ 32768     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11033 ÷ 215
    11033 ÷ 32768     		y = 0.336700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336700439453125 × 2 - 1) × π
    0.32659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02604139946768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02604139946768))-π/2
    2×atan(2.78999945214005)-π/2
    2×1.22663750833204-π/2
    2.45327501666408-1.57079632675     		φ = 0.88247869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88247869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.562304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14405 KachelY 11033 -0.37946850 0.88247869 -21.741944 50.562304
    Oben rechts KachelX + 1 14406 KachelY 11033 -0.37927675 0.88247869 -21.730957 50.562304
    Unten links KachelX 14405 KachelY + 1 11034 -0.37946850 0.88235688 -21.741944 50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 14406 KachelY + 1 11034 -0.37927675 0.88235688 -21.730957 50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88247869-0.88235688) × R
    0.00012181 × 6371000     		dl = 776.05151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88247869-0.88235688) × R
    0.00012181 × 6371000     		dr = 776.05151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37927675) × cos(0.88247869) × R
    0.000191749999999991 × 0.635238766106317 × 6371000     		do = 776.032609797008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37927675) × cos(0.88235688) × R
    0.000191749999999991 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 776.147530715524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88247869)-sin(0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635238766106317-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.37927675--0.37946850)×9.40710758231544e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40710758231544e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40710758231544e-05×40589641000000     		ar = 602285.871663667m²