Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14404 / 9534
↖ ↑ ↗
← N 59.899958°
W 21.752929°		 ← 612.63 m → N 59.899958°
W 21.741944°		 →
↑
612.70 m
↓
↑
612.70 m
↓
N 59.894448°
W 21.752929°		 ← 612.74 m →
375 391 m²		 N 59.894448°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439590454101562 y=0.290969848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439590454101562 × 215)
    floor (0.439590454101562 × 32768)
    floor (14404.5)     		tx = 14404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290969848632812 × 215)
    floor (0.290969848632812 × 32768)
    floor (9534.5)     		ty = 9534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14404 / 9534 ti = "15/14404/9534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14404/9534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14404 ÷ 215
    14404 ÷ 32768     		x = 0.4395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9534 ÷ 215
    9534 ÷ 32768     		y = 0.29095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37966024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29095458984375 × 2 - 1) × π
    0.4180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31347104958954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37966024} λ = -0.37966024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31347104958954))-π/2
    2×atan(3.71906037714083)-π/2
    2×1.308123910126-π/2
    2.616247820252-1.57079632675     		φ = 1.04545149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37966024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.752929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04545149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.899958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14404 KachelY 9534 -0.37966024 1.04545149 -21.752929 59.899958
    Oben rechts KachelX + 1 14405 KachelY 9534 -0.37946850 1.04545149 -21.741944 59.899958
    Unten links KachelX 14404 KachelY + 1 9535 -0.37966024 1.04535532 -21.752929 59.894448
    Unten rechts KachelX + 1 14405 KachelY + 1 9535 -0.37946850 1.04535532 -21.741944 59.894448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04545149-1.04535532) × R
    9.6169999999951e-05 × 6371000     		dl = 612.699069999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04545149-1.04535532) × R
    9.6169999999951e-05 × 6371000     		dr = 612.699069999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37966024--0.37946850) × cos(1.04545149) × R
    0.000191739999999996 × 0.501511370402236 × 6371000     		do = 612.634023115239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37966024--0.37946850) × cos(1.04535532) × R
    0.000191739999999996 × 0.501594569659766 × 6371000     		du = 612.735657293183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04545149)-sin(1.04535532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501511370402236-0.501594569659766)×R²
    abs(-0.37946850--0.37966024)×8.31992575297535e-05×R²
    0.000191739999999996×8.31992575297535e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.31992575297535e-05×40589641000000     		ar = 375391.432085182m²