Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14404 / 21189
↖ ↑ ↗
← S 46.596619°
W 21.752929°		 ← 839.38 m → S 46.596619°
W 21.741944°		 →
↑
839.32 m
↓
↑
839.32 m
↓
S 46.604167°
W 21.752929°		 ← 839.26 m →
704 457 m²		 S 46.604167°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439590454101562 y=0.646652221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439590454101562 × 215)
    floor (0.439590454101562 × 32768)
    floor (14404.5)     		tx = 14404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646652221679688 × 215)
    floor (0.646652221679688 × 32768)
    floor (21189.5)     		ty = 21189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14404 / 21189 ti = "15/14404/21189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14404/21189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14404 ÷ 215
    14404 ÷ 32768     		x = 0.4395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21189 ÷ 215
    21189 ÷ 32768     		y = 0.646636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37966024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.29327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.921347210697479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37966024} λ = -0.37966024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921347210697479))-π/2
    2×atan(0.397982513458243)-π/2
    2×0.378765955547231-π/2
    0.757531911094461-1.57079632675     		φ = -0.81326442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37966024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.752929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81326442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.596619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14404 KachelY 21189 -0.37966024 -0.81326442 -21.752929 -46.596619
    Oben rechts KachelX + 1 14405 KachelY 21189 -0.37946850 -0.81326442 -21.741944 -46.596619
    Unten links KachelX 14404 KachelY + 1 21190 -0.37966024 -0.81339616 -21.752929 -46.604167
    Unten rechts KachelX + 1 14405 KachelY + 1 21190 -0.37946850 -0.81339616 -21.741944 -46.604167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81326442--0.81339616) × R
    0.000131740000000047 × 6371000     		dl = 839.315540000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81326442--0.81339616) × R
    0.000131740000000047 × 6371000     		dr = 839.315540000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37966024--0.37946850) × cos(-0.81326442) × R
    0.000191739999999996 × 0.687130385817928 × 6371000     		do = 839.381672105925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37966024--0.37946850) × cos(-0.81339616) × R
    0.000191739999999996 × 0.687034666250029 × 6371000     		du = 839.264743423081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81326442)-sin(-0.81339616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687130385817928-0.687034666250029)×R²
    abs(-0.37946850--0.37966024)×9.57195678988887e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57195678988887e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57195678988887e-05×40589641000000     		ar = 704457.012379277m²