Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14402 / 9537
↖ ↑ ↗
← N 59.883425°
W 21.774902°		 ← 612.97 m → N 59.883425°
W 21.763916°		 →
↑
613.02 m
↓
↑
613.02 m
↓
N 59.877912°
W 21.774902°		 ← 613.07 m →
375 793 m²		 N 59.877912°
W 21.763916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439529418945312 y=0.291061401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439529418945312 × 215)
    floor (0.439529418945312 × 32768)
    floor (14402.5)     		tx = 14402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291061401367188 × 215)
    floor (0.291061401367188 × 32768)
    floor (9537.5)     		ty = 9537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14402 / 9537 ti = "15/14402/9537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14402/9537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14402 ÷ 215
    14402 ÷ 32768     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9537 ÷ 215
    9537 ÷ 32768     		y = 0.291046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291046142578125 × 2 - 1) × π
    0.41790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3128958067941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3128958067941))-π/2
    2×atan(3.71692162966158)-π/2
    2×1.30797962882814-π/2
    2.61595925765627-1.57079632675     		φ = 1.04516293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04516293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.883425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14402 KachelY 9537 -0.38004374 1.04516293 -21.774902 59.883425
    Oben rechts KachelX + 1 14403 KachelY 9537 -0.37985199 1.04516293 -21.763916 59.883425
    Unten links KachelX 14402 KachelY + 1 9538 -0.38004374 1.04506671 -21.774902 59.877912
    Unten rechts KachelX + 1 14403 KachelY + 1 9538 -0.37985199 1.04506671 -21.763916 59.877912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04516293-1.04506671) × R
    9.62200000000912e-05 × 6371000     		dl = 613.017620000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04516293-1.04506671) × R
    9.62200000000912e-05 × 6371000     		dr = 613.017620000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37985199) × cos(1.04516293) × R
    0.000191750000000046 × 0.501760997507126 × 6371000     		do = 612.970928674004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37985199) × cos(1.04506671) × R
    0.000191750000000046 × 0.501844226090589 × 6371000     		du = 613.072603978285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04516293)-sin(1.04506671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501760997507126-0.501844226090589)×R²
    abs(-0.37985199--0.38004374)×8.3228583463768e-05×R²
    0.000191750000000046×8.3228583463768e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.3228583463768e-05×40589641000000     		ar = 375793.144491341m²