Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14402 / 9533
↖ ↑ ↗
← N 59.905468°
W 21.774902°		 ← 612.56 m → N 59.905468°
W 21.763916°		 →
↑
612.64 m
↓
↑
612.64 m
↓
N 59.899958°
W 21.774902°		 ← 612.67 m →
375 310 m²		 N 59.899958°
W 21.763916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439529418945312 y=0.290939331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439529418945312 × 215)
    floor (0.439529418945312 × 32768)
    floor (14402.5)     		tx = 14402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290939331054688 × 215)
    floor (0.290939331054688 × 32768)
    floor (9533.5)     		ty = 9533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14402 / 9533 ti = "15/14402/9533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14402/9533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14402 ÷ 215
    14402 ÷ 32768     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9533 ÷ 215
    9533 ÷ 32768     		y = 0.290924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290924072265625 × 2 - 1) × π
    0.41815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31366279718802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31366279718802))-π/2
    2×atan(3.71977356641072)-π/2
    2×1.30817198793814-π/2
    2.61634397587628-1.57079632675     		φ = 1.04554765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04554765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.905468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14402 KachelY 9533 -0.38004374 1.04554765 -21.774902 59.905468
    Oben rechts KachelX + 1 14403 KachelY 9533 -0.37985199 1.04554765 -21.763916 59.905468
    Unten links KachelX 14402 KachelY + 1 9534 -0.38004374 1.04545149 -21.774902 59.899958
    Unten rechts KachelX + 1 14403 KachelY + 1 9534 -0.37985199 1.04545149 -21.763916 59.899958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04554765-1.04545149) × R
    9.61600000000118e-05 × 6371000     		dl = 612.635360000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04554765-1.04545149) × R
    9.61600000000118e-05 × 6371000     		dr = 612.635360000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37985199) × cos(1.04554765) × R
    0.000191750000000046 × 0.501428175158387 × 6371000     		do = 612.564339829508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37985199) × cos(1.04545149) × R
    0.000191750000000046 × 0.501511370402236 × 6371000     		du = 612.665974404807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04554765)-sin(1.04545149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501428175158387-0.501511370402236)×R²
    abs(-0.37985199--0.38004374)×8.31952438494765e-05×R²
    0.000191750000000046×8.31952438494765e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.31952438494765e-05×40589641000000     		ar = 375309.707611628m²