Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14402 / 21609
↖ ↑ ↗
← S 49.674738°
W 21.774902°		 ← 790.55 m → S 49.674738°
W 21.763916°		 →
↑
790.51 m
↓
↑
790.51 m
↓
S 49.681847°
W 21.774902°		 ← 790.44 m →
624 898 m²		 S 49.681847°
W 21.763916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439529418945312 y=0.659469604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439529418945312 × 215)
    floor (0.439529418945312 × 32768)
    floor (14402.5)     		tx = 14402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659469604492188 × 215)
    floor (0.659469604492188 × 32768)
    floor (21609.5)     		ty = 21609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14402 / 21609 ti = "15/14402/21609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14402/21609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14402 ÷ 215
    14402 ÷ 32768     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21609 ÷ 215
    21609 ÷ 32768     		y = 0.659454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.31890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00188120205917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00188120205917))-π/2
    2×atan(0.367188036149361)-π/2
    2×0.351904297865328-π/2
    0.703808595730656-1.57079632675     		φ = -0.86698773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86698773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.674738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14402 KachelY 21609 -0.38004374 -0.86698773 -21.774902 -49.674738
    Oben rechts KachelX + 1 14403 KachelY 21609 -0.37985199 -0.86698773 -21.763916 -49.674738
    Unten links KachelX 14402 KachelY + 1 21610 -0.38004374 -0.86711181 -21.774902 -49.681847
    Unten rechts KachelX + 1 14403 KachelY + 1 21610 -0.37985199 -0.86711181 -21.763916 -49.681847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86698773--0.86711181) × R
    0.000124080000000082 × 6371000     		dl = 790.513680000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86698773--0.86711181) × R
    0.000124080000000082 × 6371000     		dr = 790.513680000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37985199) × cos(-0.86698773) × R
    0.000191750000000046 × 0.647125983383425 × 6371000     		do = 790.55450099623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37985199) × cos(-0.86711181) × R
    0.000191750000000046 × 0.647031381909497 × 6371000     		du = 790.438932122572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86698773)-sin(-0.86711181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647125983383425-0.647031381909497)×R²
    abs(-0.37985199--0.38004374)×9.46014739279244e-05×R²
    0.000191750000000046×9.46014739279244e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.46014739279244e-05×40589641000000     		ar = 624898.469237467m²