Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14402 / 10178
↖ ↑ ↗
← N 76.918127°
W100.887451°		 ← 138.26 m → N 76.918127°
W100.881958°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
N 76.916884°
W100.887451°		 ← 138.27 m →
19 116 m²		 N 76.916884°
W100.881958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219764709472656 y=0.155311584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219764709472656 × 216)
    floor (0.219764709472656 × 65536)
    floor (14402.5)     		tx = 14402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155311584472656 × 216)
    floor (0.155311584472656 × 65536)
    floor (10178.5)     		ty = 10178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14402 / 10178 ti = "16/14402/10178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14402/10178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14402 ÷ 216
    14402 ÷ 65536     		x = 0.219757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10178 ÷ 216
    10178 ÷ 65536     		y = 0.155303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.56048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76081820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155303955078125 × 2 - 1) × π
    0.68939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16578912483414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76081820} λ = -1.76081820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16578912483414))-π/2
    2×atan(8.72148153972707)-π/2
    2×1.45663544931304-π/2
    2.91327089862608-1.57079632675     		φ = 1.34247457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76081820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34247457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.918127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14402 KachelY 10178 -1.76081820 1.34247457 -100.887451 76.918127
    Oben rechts KachelX + 1 14403 KachelY 10178 -1.76072232 1.34247457 -100.881958 76.918127
    Unten links KachelX 14402 KachelY + 1 10179 -1.76081820 1.34245287 -100.887451 76.916884
    Unten rechts KachelX + 1 14403 KachelY + 1 10179 -1.76072232 1.34245287 -100.881958 76.916884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34247457-1.34245287) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34247457-1.34245287) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76081820--1.76072232) × cos(1.34247457) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226343154241482 × 6371000     		do = 138.262050756187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76081820--1.76072232) × cos(1.34245287) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22636429102166 × 6371000     		du = 138.274962189641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34247457)-sin(1.34245287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226343154241482-0.22636429102166)×R²
    abs(-1.76072232--1.76081820)×2.1136780177955e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.1136780177955e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.1136780177955e-05×40589641000000     		ar = 19115.7178087206m²