Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14401 / 21433
↖ ↑ ↗
← S 48.407326°
W 21.785889°		 ← 810.96 m → S 48.407326°
W 21.774902°		 →
↑
810.90 m
↓
↑
810.90 m
↓
S 48.414619°
W 21.785889°		 ← 810.85 m →
657 562 m²		 S 48.414619°
W 21.774902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439498901367188 y=0.654098510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439498901367188 × 215)
    floor (0.439498901367188 × 32768)
    floor (14401.5)     		tx = 14401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654098510742188 × 215)
    floor (0.654098510742188 × 32768)
    floor (21433.5)     		ty = 21433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14401 / 21433 ti = "15/14401/21433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14401/21433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14401 ÷ 215
    14401 ÷ 32768     		x = 0.439483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21433 ÷ 215
    21433 ÷ 32768     		y = 0.654083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.12103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38023549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.30816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.968133624726654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38023549} λ = -0.38023549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968133624726654))-π/2
    2×atan(0.379791209963917)-π/2
    2×0.36296455231773-π/2
    0.725929104635461-1.57079632675     		φ = -0.84486722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38023549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.785889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84486722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.407326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14401 KachelY 21433 -0.38023549 -0.84486722 -21.785889 -48.407326
    Oben rechts KachelX + 1 14402 KachelY 21433 -0.38004374 -0.84486722 -21.774902 -48.407326
    Unten links KachelX 14401 KachelY + 1 21434 -0.38023549 -0.84499450 -21.785889 -48.414619
    Unten rechts KachelX + 1 14402 KachelY + 1 21434 -0.38004374 -0.84499450 -21.774902 -48.414619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84486722--0.84499450) × R
    0.000127279999999952 × 6371000     		dl = 810.900879999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84486722--0.84499450) × R
    0.000127279999999952 × 6371000     		dr = 810.900879999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38023549--0.38004374) × cos(-0.84486722) × R
    0.000191749999999991 × 0.663830592239908 × 6371000     		do = 810.961506830977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38023549--0.38004374) × cos(-0.84499450) × R
    0.000191749999999991 × 0.66373539631797 × 6371000     		du = 810.845211756297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84486722)-sin(-0.84499450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663830592239908-0.66373539631797)×R²
    abs(-0.38004374--0.38023549)×9.51959219380738e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51959219380738e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51959219380738e-05×40589641000000     		ar = 657562.248533833m²