Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14399 / 21240
↖ ↑ ↗
← S 46.980253°
W 21.807861°		 ← 833.42 m → S 46.980253°
W 21.796875°		 →
↑
833.39 m
↓
↑
833.39 m
↓
S 46.987747°
W 21.807861°		 ← 833.30 m →
694 516 m²		 S 46.987747°
W 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439437866210938 y=0.648208618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439437866210938 × 215)
    floor (0.439437866210938 × 32768)
    floor (14399.5)     		tx = 14399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648208618164062 × 215)
    floor (0.648208618164062 × 32768)
    floor (21240.5)     		ty = 21240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14399 / 21240 ti = "15/14399/21240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14399/21240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14399 ÷ 215
    14399 ÷ 32768     		x = 0.439422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21240 ÷ 215
    21240 ÷ 32768     		y = 0.648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.12115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38061898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38061898} λ = -0.38061898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931126338219971))-π/2
    2×atan(0.394109559626714)-π/2
    2×0.375418119898332-π/2
    0.750836239796665-1.57079632675     		φ = -0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38061898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.807861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14399 KachelY 21240 -0.38061898 -0.81996009 -21.807861 -46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 14400 KachelY 21240 -0.38042724 -0.81996009 -21.796875 -46.980253
    Unten links KachelX 14399 KachelY + 1 21241 -0.38061898 -0.82009090 -21.807861 -46.987747
    Unten rechts KachelX + 1 14400 KachelY + 1 21241 -0.38042724 -0.82009090 -21.796875 -46.987747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81996009--0.82009090) × R
    0.000130809999999926 × 6371000     		dl = 833.390509999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81996009--0.82009090) × R
    0.000130809999999926 × 6371000     		dr = 833.390509999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38061898--0.38042724) × cos(-0.81996009) × R
    0.000191739999999996 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 833.420384639063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38061898--0.38042724) × cos(-0.82009090) × R
    0.000191739999999996 × 0.682154743313251 × 6371000     		du = 833.303548926428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81996009)-sin(-0.82009090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682154743313251)×R²
    abs(-0.38042724--0.38061898)×9.56434610955847e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56434610955847e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56434610955847e-05×40589641000000     		ar = 694515.955501402m²