Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14399 / 14410
↖ ↑ ↗
← N 70.477225°
W100.903931°		 ← 204.14 m → N 70.477225°
W100.898437°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 70.475389°
W100.903931°		 ← 204.15 m →
41 671 m²		 N 70.475389°
W100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219718933105469 y=0.219886779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219718933105469 × 216)
    floor (0.219718933105469 × 65536)
    floor (14399.5)     		tx = 14399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219886779785156 × 216)
    floor (0.219886779785156 × 65536)
    floor (14410.5)     		ty = 14410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14399 / 14410 ti = "16/14399/14410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14399/14410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14399 ÷ 216
    14399 ÷ 65536     		x = 0.219711303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14410 ÷ 216
    14410 ÷ 65536     		y = 0.219879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219711303710938 × 2 - 1) × π
    -0.560577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76110582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219879150390625 × 2 - 1) × π
    0.56024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76005120644998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76110582} λ = -1.76110582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76005120644998))-π/2
    2×atan(5.81273503630783)-π/2
    2×1.40042797266589-π/2
    2.80085594533178-1.57079632675     		φ = 1.23005962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76110582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.903931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23005962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.477225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14399 KachelY 14410 -1.76110582 1.23005962 -100.903931 70.477225
    Oben rechts KachelX + 1 14400 KachelY 14410 -1.76100994 1.23005962 -100.898437 70.477225
    Unten links KachelX 14399 KachelY + 1 14411 -1.76110582 1.23002758 -100.903931 70.475389
    Unten rechts KachelX + 1 14400 KachelY + 1 14411 -1.76100994 1.23002758 -100.898437 70.475389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23005962-1.23002758) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23005962-1.23002758) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76110582--1.76100994) × cos(1.23005962) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334181535348133 × 6371000     		do = 204.135285455946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76110582--1.76100994) × cos(1.23002758) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.334211733156229 × 6371000     		du = 204.153731831713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23005962)-sin(1.23002758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334181535348133-0.334211733156229)×R²
    abs(-1.76100994--1.76110582)×3.01978080953225e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.01978080953225e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.01978080953225e-05×40589641000000     		ar = 41671.3734566453m²