Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14398 / 21198
↖ ↑ ↗
← S 46.664517°
W 21.818848°		 ← 838.37 m → S 46.664517°
W 21.807861°		 →
↑
838.30 m
↓
↑
838.30 m
↓
S 46.672056°
W 21.818848°		 ← 838.26 m →
702 756 m²		 S 46.672056°
W 21.807861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439407348632812 y=0.646926879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439407348632812 × 215)
    floor (0.439407348632812 × 32768)
    floor (14398.5)     		tx = 14398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646926879882812 × 215)
    floor (0.646926879882812 × 32768)
    floor (21198.5)     		ty = 21198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14398 / 21198 ti = "15/14398/21198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14398/21198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14398 ÷ 215
    14398 ÷ 32768     		x = 0.43939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21198 ÷ 215
    21198 ÷ 32768     		y = 0.64691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.1212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38081073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.2938232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.923072939083801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38081073} λ = -0.38081073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923072939083801))-π/2
    2×atan(0.397296296020269)-π/2
    2×0.378173427011324-π/2
    0.756346854022647-1.57079632675     		φ = -0.81444947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38081073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.818848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81444947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.664517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14398 KachelY 21198 -0.38081073 -0.81444947 -21.818848 -46.664517
    Oben rechts KachelX + 1 14399 KachelY 21198 -0.38061898 -0.81444947 -21.807861 -46.664517
    Unten links KachelX 14398 KachelY + 1 21199 -0.38081073 -0.81458105 -21.818848 -46.672056
    Unten rechts KachelX + 1 14399 KachelY + 1 21199 -0.38061898 -0.81458105 -21.807861 -46.672056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81444947--0.81458105) × R
    0.00013158000000002 × 6371000     		dl = 838.296180000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81444947--0.81458105) × R
    0.00013158000000002 × 6371000     		dr = 838.296180000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38081073--0.38061898) × cos(-0.81444947) × R
    0.000191749999999991 × 0.686268924272678 × 6371000     		do = 838.37305394674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38081073--0.38061898) × cos(-0.81458105) × R
    0.000191749999999991 × 0.68617321389585 × 6371000     		du = 838.256130393775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81444947)-sin(-0.81458105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686268924272678-0.68617321389585)×R²
    abs(-0.38061898--0.38081073)×9.57103768276513e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57103768276513e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57103768276513e-05×40589641000000     		ar = 702755.921268284m²