Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14397 / 21435
↖ ↑ ↗
← S 48.421910°
W 21.829834°		 ← 810.73 m → S 48.421910°
W 21.818848°		 →
↑
810.65 m
↓
↑
810.65 m
↓
S 48.429200°
W 21.829834°		 ← 810.61 m →
657 167 m²		 S 48.429200°
W 21.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439376831054688 y=0.654159545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439376831054688 × 215)
    floor (0.439376831054688 × 32768)
    floor (14397.5)     		tx = 14397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654159545898438 × 215)
    floor (0.654159545898438 × 32768)
    floor (21435.5)     		ty = 21435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14397 / 21435 ti = "15/14397/21435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14397/21435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14397 ÷ 215
    14397 ÷ 32768     		x = 0.439361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21435 ÷ 215
    21435 ÷ 32768     		y = 0.654144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.12127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38100248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.30828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.968517119923615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38100248} λ = -0.38100248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968517119923615))-π/2
    2×atan(0.379645589783152)-π/2
    2×0.362837282649504-π/2
    0.725674565299008-1.57079632675     		φ = -0.84512176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38100248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84512176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14397 KachelY 21435 -0.38100248 -0.84512176 -21.829834 -48.421910
    Oben rechts KachelX + 1 14398 KachelY 21435 -0.38081073 -0.84512176 -21.818848 -48.421910
    Unten links KachelX 14397 KachelY + 1 21436 -0.38100248 -0.84524900 -21.829834 -48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 14398 KachelY + 1 21436 -0.38081073 -0.84524900 -21.818848 -48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84512176--0.84524900) × R
    0.000127239999999973 × 6371000     		dl = 810.646039999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84512176--0.84524900) × R
    0.000127239999999973 × 6371000     		dr = 810.646039999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38100248--0.38081073) × cos(-0.84512176) × R
    0.000191749999999991 × 0.663640204604425 × 6371000     		do = 810.728921822756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38100248--0.38081073) × cos(-0.84524900) × R
    0.000191749999999991 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 810.612637038428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84512176)-sin(-0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663640204604425-0.663545017105883)×R²
    abs(-0.38081073--0.38100248)×9.5187498541871e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5187498541871e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5187498541871e-05×40589641000000     		ar = 657167.057975726m²