Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14396 / 7412
↖ ↑ ↗
← N 69.702868°
W 21.840821°		 ← 423.77 m → N 69.702868°
W 21.829834°		 →
↑
423.86 m
↓
↑
423.86 m
↓
N 69.699056°
W 21.840821°		 ← 423.85 m →
179 638 m²		 N 69.699056°
W 21.829834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439346313476562 y=0.226211547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439346313476562 × 215)
    floor (0.439346313476562 × 32768)
    floor (14396.5)     		tx = 14396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226211547851562 × 215)
    floor (0.226211547851562 × 32768)
    floor (7412.5)     		ty = 7412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14396 / 7412 ti = "15/14396/7412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14396/7412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14396 ÷ 215
    14396 ÷ 32768     		x = 0.4393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7412 ÷ 215
    7412 ÷ 32768     		y = 0.2261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2261962890625 × 2 - 1) × π
    0.547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72035945356458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38119423} λ = -0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72035945356458))-π/2
    2×atan(5.58653620376195)-π/2
    2×1.39367043615375-π/2
    2.7873408723075-1.57079632675     		φ = 1.21654455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21654455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.702868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14396 KachelY 7412 -0.38119423 1.21654455 -21.840821 69.702868
    Oben rechts KachelX + 1 14397 KachelY 7412 -0.38100248 1.21654455 -21.829834 69.702868
    Unten links KachelX 14396 KachelY + 1 7413 -0.38119423 1.21647802 -21.840821 69.699056
    Unten rechts KachelX + 1 14397 KachelY + 1 7413 -0.38100248 1.21647802 -21.829834 69.699056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21654455-1.21647802) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dl = 423.862630000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21654455-1.21647802) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dr = 423.862630000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38119423--0.38100248) × cos(1.21654455) × R
    0.000191750000000046 × 0.34688869914299 × 6371000     		do = 423.77285025462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38119423--0.38100248) × cos(1.21647802) × R
    0.000191750000000046 × 0.346951097281477 × 6371000     		du = 423.849078269722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21654455)-sin(1.21647802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34688869914299-0.346951097281477)×R²
    abs(-0.38100248--0.38119423)×6.23981384867967e-05×R²
    0.000191750000000046×6.23981384867967e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.23981384867967e-05×40589641000000     		ar = 179637.630001111m²