Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14395 / 21874
↖ ↑ ↗
← S 51.522416°
W 21.851806°		 ← 760.07 m → S 51.522416°
W 21.840821°		 →
↑
760.06 m
↓
↑
760.06 m
↓
S 51.529252°
W 21.851806°		 ← 759.96 m →
577 659 m²		 S 51.529252°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439315795898438 y=0.667556762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439315795898438 × 215)
    floor (0.439315795898438 × 32768)
    floor (14395.5)     		tx = 14395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667556762695312 × 215)
    floor (0.667556762695312 × 32768)
    floor (21874.5)     		ty = 21874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14395 / 21874 ti = "15/14395/21874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14395/21874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14395 ÷ 215
    14395 ÷ 32768     		x = 0.439300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21874 ÷ 215
    21874 ÷ 32768     		y = 0.66754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.3350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05269431565643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38138597} λ = -0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05269431565643))-π/2
    2×atan(0.34899617537298)-π/2
    2×0.335780263795473-π/2
    0.671560527590946-1.57079632675     		φ = -0.89923580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89923580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.522416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14395 KachelY 21874 -0.38138597 -0.89923580 -21.851806 -51.522416
    Oben rechts KachelX + 1 14396 KachelY 21874 -0.38119423 -0.89923580 -21.840821 -51.522416
    Unten links KachelX 14395 KachelY + 1 21875 -0.38138597 -0.89935510 -21.851806 -51.529252
    Unten rechts KachelX + 1 14396 KachelY + 1 21875 -0.38119423 -0.89935510 -21.840821 -51.529252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89923580--0.89935510) × R
    0.000119299999999933 × 6371000     		dl = 760.060299999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89923580--0.89935510) × R
    0.000119299999999933 × 6371000     		dr = 760.060299999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38138597--0.38119423) × cos(-0.89923580) × R
    0.000191739999999996 × 0.622208405126124 × 6371000     		do = 760.074568484468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38138597--0.38119423) × cos(-0.89935510) × R
    0.000191739999999996 × 0.622115006497119 × 6371000     		du = 759.960475003805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89923580)-sin(-0.89935510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622208405126124-0.622115006497119)×R²
    abs(-0.38119423--0.38138597)×9.33986290057032e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33986290057032e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33986290057032e-05×40589641000000     		ar = 577659.146266657m²