Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14395 / 21808
↖ ↑ ↗
← S 51.069017°
W 21.851806°		 ← 767.62 m → S 51.069017°
W 21.840821°		 →
↑
767.58 m
↓
↑
767.58 m
↓
S 51.075920°
W 21.851806°		 ← 767.50 m →
589 163 m²		 S 51.075920°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439315795898438 y=0.665542602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439315795898438 × 215)
    floor (0.439315795898438 × 32768)
    floor (14395.5)     		tx = 14395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665542602539062 × 215)
    floor (0.665542602539062 × 32768)
    floor (21808.5)     		ty = 21808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14395 / 21808 ti = "15/14395/21808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14395/21808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14395 ÷ 215
    14395 ÷ 32768     		x = 0.439300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21808 ÷ 215
    21808 ÷ 32768     		y = 0.66552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38138597} λ = -0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04003897415674))-π/2
    2×atan(0.353440906629048)-π/2
    2×0.339736920173826-π/2
    0.679473840347652-1.57079632675     		φ = -0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14395 KachelY 21808 -0.38138597 -0.89132249 -21.851806 -51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 14396 KachelY 21808 -0.38119423 -0.89132249 -21.840821 -51.069017
    Unten links KachelX 14395 KachelY + 1 21809 -0.38138597 -0.89144297 -21.851806 -51.075920
    Unten rechts KachelX + 1 14396 KachelY + 1 21809 -0.38119423 -0.89144297 -21.840821 -51.075920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89132249--0.89144297) × R
    0.000120479999999978 × 6371000     		dl = 767.578079999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89132249--0.89144297) × R
    0.000120479999999978 × 6371000     		dr = 767.578079999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38138597--0.38119423) × cos(-0.89132249) × R
    0.000191739999999996 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 767.618288172078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38138597--0.38119423) × cos(-0.89144297) × R
    0.000191739999999996 × 0.628290080474366 × 6371000     		du = 767.5037943321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89132249)-sin(-0.89144297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628290080474366)×R²
    abs(-0.38119423--0.38138597)×9.37263691266343e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37263691266343e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37263691266343e-05×40589641000000     		ar = 589163.031039552m²