Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14394 / 11051
↖ ↑ ↗
← N 50.436516°
W 21.862793°		 ← 778.10 m → N 50.436516°
W 21.851806°		 →
↑
778.15 m
↓
↑
778.15 m
↓
N 50.429518°
W 21.862793°		 ← 778.22 m →
605 528 m²		 N 50.429518°
W 21.851806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439285278320312 y=0.337265014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439285278320312 × 215)
    floor (0.439285278320312 × 32768)
    floor (14394.5)     		tx = 14394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337265014648438 × 215)
    floor (0.337265014648438 × 32768)
    floor (11051.5)     		ty = 11051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14394 / 11051 ti = "15/14394/11051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14394/11051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14394 ÷ 215
    14394 ÷ 32768     		x = 0.43927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11051 ÷ 215
    11051 ÷ 32768     		y = 0.337249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.1214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38157772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337249755859375 × 2 - 1) × π
    0.32550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02258994269504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38157772} λ = -0.38157772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02258994269504))-π/2
    2×atan(2.78038648854236)-π/2
    2×1.22553979725377-π/2
    2.45107959450755-1.57079632675     		φ = 0.88028327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38157772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88028327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.436516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14394 KachelY 11051 -0.38157772 0.88028327 -21.862793 50.436516
    Oben rechts KachelX + 1 14395 KachelY 11051 -0.38138597 0.88028327 -21.851806 50.436516
    Unten links KachelX 14394 KachelY + 1 11052 -0.38157772 0.88016113 -21.862793 50.429518
    Unten rechts KachelX + 1 14395 KachelY + 1 11052 -0.38138597 0.88016113 -21.851806 50.429518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88028327-0.88016113) × R
    0.000122139999999993 × 6371000     		dl = 778.153939999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88028327-0.88016113) × R
    0.000122139999999993 × 6371000     		dr = 778.153939999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38157772--0.38138597) × cos(0.88028327) × R
    0.000191749999999991 × 0.636932791436168 × 6371000     		do = 778.102097630448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38157772--0.38138597) × cos(0.88016113) × R
    0.000191749999999991 × 0.637026946772422 × 6371000     		du = 778.217121484814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88028327)-sin(0.88016113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636932791436168-0.637026946772422)×R²
    abs(-0.38138597--0.38157772)×9.41553362547864e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41553362547864e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41553362547864e-05×40589641000000     		ar = 605527.966879079m²