Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14393 / 21853
↖ ↑ ↗
← S 51.378638°
W 21.873779°		 ← 762.51 m → S 51.378638°
W 21.862793°		 →
↑
762.48 m
↓
↑
762.48 m
↓
S 51.385495°
W 21.873779°		 ← 762.40 m →
581 357 m²		 S 51.385495°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439254760742188 y=0.666915893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439254760742188 × 215)
    floor (0.439254760742188 × 32768)
    floor (14393.5)     		tx = 14393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666915893554688 × 215)
    floor (0.666915893554688 × 32768)
    floor (21853.5)     		ty = 21853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14393 / 21853 ti = "15/14393/21853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14393/21853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14393 ÷ 215
    14393 ÷ 32768     		x = 0.439239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21853 ÷ 215
    21853 ÷ 32768     		y = 0.666900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.12152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38176947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.33380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04866761608835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38176947} λ = -0.38176947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04866761608835))-π/2
    2×atan(0.350404311289099)-π/2
    2×0.337034962200256-π/2
    0.674069924400513-1.57079632675     		φ = -0.89672640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38176947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.873779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89672640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.378638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14393 KachelY 21853 -0.38176947 -0.89672640 -21.873779 -51.378638
    Oben rechts KachelX + 1 14394 KachelY 21853 -0.38157772 -0.89672640 -21.862793 -51.378638
    Unten links KachelX 14393 KachelY + 1 21854 -0.38176947 -0.89684608 -21.873779 -51.385495
    Unten rechts KachelX + 1 14394 KachelY + 1 21854 -0.38157772 -0.89684608 -21.862793 -51.385495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89672640--0.89684608) × R
    0.000119679999999955 × 6371000     		dl = 762.481279999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89672640--0.89684608) × R
    0.000119679999999955 × 6371000     		dr = 762.481279999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38176947--0.38157772) × cos(-0.89672640) × R
    0.000191749999999991 × 0.624170931936729 × 6371000     		do = 762.511709162949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38176947--0.38157772) × cos(-0.89684608) × R
    0.000191749999999991 × 0.624077422941323 × 6371000     		du = 762.397474903933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89672640)-sin(-0.89684608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624170931936729-0.624077422941323)×R²
    abs(-0.38157772--0.38176947)×9.35089954063884e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35089954063884e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35089954063884e-05×40589641000000     		ar = 581357.353969343m²