Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14393 / 10541
↖ ↑ ↗
← N 76.459062°
W100.936890°		 ← 143.01 m → N 76.459062°
W100.931397°		 →
↑
143.03 m
↓
↑
143.03 m
↓
N 76.457776°
W100.936890°		 ← 143.02 m →
20 456 m²		 N 76.457776°
W100.931397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219627380371094 y=0.160850524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219627380371094 × 216)
    floor (0.219627380371094 × 65536)
    floor (14393.5)     		tx = 14393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160850524902344 × 216)
    floor (0.160850524902344 × 65536)
    floor (10541.5)     		ty = 10541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14393 / 10541 ti = "16/14393/10541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14393/10541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14393 ÷ 216
    14393 ÷ 65536     		x = 0.219619750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10541 ÷ 216
    10541 ÷ 65536     		y = 0.160842895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219619750976562 × 2 - 1) × π
    -0.560760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76168106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160842895507812 × 2 - 1) × π
    0.678314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13098693570998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76168106} λ = -1.76168106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13098693570998))-π/2
    2×atan(8.42317584355684)-π/2
    2×1.4526293548439-π/2
    2.90525870968779-1.57079632675     		φ = 1.33446238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76168106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.936890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33446238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.459062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14393 KachelY 10541 -1.76168106 1.33446238 -100.936890 76.459062
    Oben rechts KachelX + 1 14394 KachelY 10541 -1.76158519 1.33446238 -100.931397 76.459062
    Unten links KachelX 14393 KachelY + 1 10542 -1.76168106 1.33443993 -100.936890 76.457776
    Unten rechts KachelX + 1 14394 KachelY + 1 10542 -1.76158519 1.33443993 -100.931397 76.457776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33446238-1.33443993) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dl = 143.028949999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33446238-1.33443993) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dr = 143.028949999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76168106--1.76158519) × cos(1.33446238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234140060354285 × 6371000     		do = 143.009885331456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76168106--1.76158519) × cos(1.33443993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.234161886249846 × 6371000     		du = 143.023216321534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33446238)-sin(1.33443993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234140060354285-0.234161886249846)×R²
    abs(-1.76158519--1.76168106)×2.18258955610728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.18258955610728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.18258955610728e-05×40589641000000     		ar = 20455.5070984534m²