Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14392 / 21880
↖ ↑ ↗
← S 51.563412°
W 21.884766°		 ← 759.43 m → S 51.563412°
W 21.873779°		 →
↑
759.36 m
↓
↑
759.36 m
↓
S 51.570241°
W 21.884766°		 ← 759.32 m →
576 637 m²		 S 51.570241°
W 21.873779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439224243164062 y=0.667739868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439224243164062 × 215)
    floor (0.439224243164062 × 32768)
    floor (14392.5)     		tx = 14392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667739868164062 × 215)
    floor (0.667739868164062 × 32768)
    floor (21880.5)     		ty = 21880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14392 / 21880 ti = "15/14392/21880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14392/21880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14392 ÷ 215
    14392 ÷ 32768     		x = 0.439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21880 ÷ 215
    21880 ÷ 32768     		y = 0.667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.33544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05384480124731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38196122} λ = -0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05384480124731))-π/2
    2×atan(0.348594891182043)-π/2
    2×0.335422504057395-π/2
    0.670845008114791-1.57079632675     		φ = -0.89995132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89995132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.563412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14392 KachelY 21880 -0.38196122 -0.89995132 -21.884766 -51.563412
    Oben rechts KachelX + 1 14393 KachelY 21880 -0.38176947 -0.89995132 -21.873779 -51.563412
    Unten links KachelX 14392 KachelY + 1 21881 -0.38196122 -0.90007051 -21.884766 -51.570241
    Unten rechts KachelX + 1 14393 KachelY + 1 21881 -0.38176947 -0.90007051 -21.873779 -51.570241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89995132--0.90007051) × R
    0.000119190000000047 × 6371000     		dl = 759.359490000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89995132--0.90007051) × R
    0.000119190000000047 × 6371000     		dr = 759.359490000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38196122--0.38176947) × cos(-0.89995132) × R
    0.000191749999999991 × 0.621648099888082 × 6371000     		do = 759.429718511165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38196122--0.38176947) × cos(-0.90007051) × R
    0.000191749999999991 × 0.621554734345096 × 6371000     		du = 759.315659499254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89995132)-sin(-0.90007051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621648099888082-0.621554734345096)×R²
    abs(-0.38176947--0.38196122)×9.33655429867786e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33655429867786e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33655429867786e-05×40589641000000     		ar = 576636.858525723m²