Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14391 / 18520
↖ ↑ ↗
← N 61.375673°
W100.947876°		 ← 292.64 m → N 61.375673°
W100.942383°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
N 61.373042°
W100.947876°		 ← 292.66 m →
85 635 m²		 N 61.373042°
W100.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219596862792969 y=0.282600402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219596862792969 × 216)
    floor (0.219596862792969 × 65536)
    floor (14391.5)     		tx = 14391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282600402832031 × 216)
    floor (0.282600402832031 × 65536)
    floor (18520.5)     		ty = 18520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14391 / 18520 ti = "16/14391/18520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14391/18520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14391 ÷ 216
    14391 ÷ 65536     		x = 0.219589233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18520 ÷ 216
    18520 ÷ 65536     		y = 0.2825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219589233398438 × 2 - 1) × π
    -0.560821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76187281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2825927734375 × 2 - 1) × π
    0.434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36600989157312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76187281} λ = -1.76187281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36600989157312))-π/2
    2×atan(3.9196795051637)-π/2
    2×1.32100195338203-π/2
    2.64200390676406-1.57079632675     		φ = 1.07120758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76187281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.947876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07120758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.375673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14391 KachelY 18520 -1.76187281 1.07120758 -100.947876 61.375673
    Oben rechts KachelX + 1 14392 KachelY 18520 -1.76177693 1.07120758 -100.942383 61.375673
    Unten links KachelX 14391 KachelY + 1 18521 -1.76187281 1.07116165 -100.947876 61.373042
    Unten rechts KachelX + 1 14392 KachelY + 1 18521 -1.76177693 1.07116165 -100.942383 61.373042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07120758-1.07116165) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07120758-1.07116165) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76187281--1.76177693) × cos(1.07120758) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.479064589430628 × 6371000     		do = 292.637313469777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76187281--1.76177693) × cos(1.07116165) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.479104905344765 × 6371000     		du = 292.661940505596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07120758)-sin(1.07116165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479064589430628-0.479104905344765)×R²
    abs(-1.76177693--1.76187281)×4.03159141373899e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.03159141373899e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.03159141373899e-05×40589641000000     		ar = 85635.1426440397m²