Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14391 / 18294
↖ ↑ ↗
← N 78.140139°
W140.473938°		 ← 62.77 m → N 78.140139°
W140.471191°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.139575°
W140.473938°		 ← 62.77 m →
3 939 m²		 N 78.139575°
W140.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109798431396484 y=0.139575958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109798431396484 × 217)
    floor (0.109798431396484 × 131072)
    floor (14391.5)     		tx = 14391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139575958251953 × 217)
    floor (0.139575958251953 × 131072)
    floor (18294.5)     		ty = 18294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14391 / 18294 ti = "17/14391/18294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14391/18294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14391 ÷ 217
    14391 ÷ 131072     		x = 0.109794616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18294 ÷ 217
    18294 ÷ 131072     		y = 0.139572143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109794616699219 × 2 - 1) × π
    -0.780410766601562 × 3.1415926535     		Λ = -2.45173273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139572143554688 × 2 - 1) × π
    0.720855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26463501185069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45173273} λ = -2.45173273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26463501185069))-π/2
    2×atan(9.62760999619996)-π/2
    2×1.46729951728629-π/2
    2.93459903457257-1.57079632675     		φ = 1.36380271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45173273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.473938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36380271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.140139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14391 KachelY 18294 -2.45173273 1.36380271 -140.473938 78.140139
    Oben rechts KachelX + 1 14392 KachelY 18294 -2.45168479 1.36380271 -140.471191 78.140139
    Unten links KachelX 14391 KachelY + 1 18295 -2.45173273 1.36379286 -140.473938 78.139575
    Unten rechts KachelX + 1 14392 KachelY + 1 18295 -2.45168479 1.36379286 -140.471191 78.139575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36380271-1.36379286) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dl = 62.7543500005667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36380271-1.36379286) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dr = 62.7543500005667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45173273--2.45168479) × cos(1.36380271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205518626494278 × 6371000     		do = 62.7706785807572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45173273--2.45168479) × cos(1.36379286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205528266218369 × 6371000     		du = 62.7736228006213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36380271)-sin(1.36379286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205518626494278-0.205528266218369)×R²
    abs(-2.45168479--2.45173273)×9.63972409168123e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63972409168123e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63972409168123e-06×40589641000000     		ar = 3939.22551478334m²