Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14390 / 11101
↖ ↑ ↗
← N 50.085345°
W 21.906738°		 ← 783.86 m → N 50.085345°
W 21.895752°		 →
↑
783.95 m
↓
↑
783.95 m
↓
N 50.078294°
W 21.906738°		 ← 783.98 m →
614 553 m²		 N 50.078294°
W 21.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439163208007812 y=0.338790893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439163208007812 × 215)
    floor (0.439163208007812 × 32768)
    floor (14390.5)     		tx = 14390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338790893554688 × 215)
    floor (0.338790893554688 × 32768)
    floor (11101.5)     		ty = 11101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14390 / 11101 ti = "15/14390/11101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14390/11101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14390 ÷ 215
    14390 ÷ 32768     		x = 0.43914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11101 ÷ 215
    11101 ÷ 32768     		y = 0.338775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338775634765625 × 2 - 1) × π
    0.32244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01300256277103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38234471} λ = -0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01300256277103))-π/2
    2×atan(2.75385724312752)-π/2
    2×1.22247524675433-π/2
    2.44495049350867-1.57079632675     		φ = 0.87415417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87415417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.085345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14390 KachelY 11101 -0.38234471 0.87415417 -21.906738 50.085345
    Oben rechts KachelX + 1 14391 KachelY 11101 -0.38215296 0.87415417 -21.895752 50.085345
    Unten links KachelX 14390 KachelY + 1 11102 -0.38234471 0.87403112 -21.906738 50.078294
    Unten rechts KachelX + 1 14391 KachelY + 1 11102 -0.38215296 0.87403112 -21.895752 50.078294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87415417-0.87403112) × R
    0.000123049999999902 × 6371000     		dl = 783.951549999378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87415417-0.87403112) × R
    0.000123049999999902 × 6371000     		dr = 783.951549999378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38234471--0.38215296) × cos(0.87415417) × R
    0.000191749999999991 × 0.64164584011275 × 6371000     		do = 783.859742880921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38234471--0.38215296) × cos(0.87403112) × R
    0.000191749999999991 × 0.641740214734451 × 6371000     		du = 783.975034622995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87415417)-sin(0.87403112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64164584011275-0.641740214734451)×R²
    abs(-0.38215296--0.38234471)×9.43746217015873e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43746217015873e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43746217015873e-05×40589641000000     		ar = 614553.252759187m²