Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14389 / 18293
↖ ↑ ↗
← N 78.140704°
W140.479431°		 ← 62.75 m → N 78.140704°
W140.476685°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.140139°
W140.479431°		 ← 62.76 m →
3 938 m²		 N 78.140139°
W140.476685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109783172607422 y=0.139568328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109783172607422 × 217)
    floor (0.109783172607422 × 131072)
    floor (14389.5)     		tx = 14389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139568328857422 × 217)
    floor (0.139568328857422 × 131072)
    floor (18293.5)     		ty = 18293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14389 / 18293 ti = "17/14389/18293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14389/18293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14389 ÷ 217
    14389 ÷ 131072     		x = 0.109779357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18293 ÷ 217
    18293 ÷ 131072     		y = 0.139564514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109779357910156 × 2 - 1) × π
    -0.780441284179688 × 3.1415926535     		Λ = -2.45182860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139564514160156 × 2 - 1) × π
    0.720870971679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26468294875031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45182860} λ = -2.45182860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26468294875031))-π/2
    2×atan(9.62807152503598)-π/2
    2×1.46730444313368-π/2
    2.93460888626735-1.57079632675     		φ = 1.36381256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45182860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.479431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36381256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.140704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14389 KachelY 18293 -2.45182860 1.36381256 -140.479431 78.140704
    Oben rechts KachelX + 1 14390 KachelY 18293 -2.45178067 1.36381256 -140.476685 78.140704
    Unten links KachelX 14389 KachelY + 1 18294 -2.45182860 1.36380271 -140.479431 78.140139
    Unten rechts KachelX + 1 14390 KachelY + 1 18294 -2.45178067 1.36380271 -140.476685 78.140139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36381256-1.36380271) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dl = 62.7543499991521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36381256-1.36380271) × R
    9.84999999986691e-06 × 6371000     		dr = 62.7543499991521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45182860--2.45178067) × cos(1.36381256) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205508986750246 × 6371000     		do = 62.7546413767553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45182860--2.45178067) × cos(1.36380271) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205518626494278 × 6371000     		du = 62.7575849885614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36381256)-sin(1.36380271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205508986750246-0.205518626494278)×R²
    abs(-2.45178067--2.45182860)×9.63974403142553e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.63974403142553e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.63974403142553e-06×40589641000000     		ar = 3938.21909117603m²