Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14389 / 17061
↖ ↑ ↗
← N 78.816372°
W140.479431°		 ← 59.23 m → N 78.816372°
W140.476685°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.815839°
W140.479431°		 ← 59.23 m →
3 509 m²		 N 78.815839°
W140.476685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109783172607422 y=0.130168914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109783172607422 × 217)
    floor (0.109783172607422 × 131072)
    floor (14389.5)     		tx = 14389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130168914794922 × 217)
    floor (0.130168914794922 × 131072)
    floor (17061.5)     		ty = 17061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14389 / 17061 ti = "17/14389/17061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14389/17061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14389 ÷ 217
    14389 ÷ 131072     		x = 0.109779357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17061 ÷ 217
    17061 ÷ 131072     		y = 0.130165100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109779357910156 × 2 - 1) × π
    -0.780441284179688 × 3.1415926535     		Λ = -2.45182860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130165100097656 × 2 - 1) × π
    0.739669799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.32374120908222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45182860} λ = -2.45182860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32374120908222))-π/2
    2×atan(10.2138149327477)-π/2
    2×1.47320076392031-π/2
    2.94640152784062-1.57079632675     		φ = 1.37560520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45182860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.479431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37560520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.816372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14389 KachelY 17061 -2.45182860 1.37560520 -140.479431 78.816372
    Oben rechts KachelX + 1 14390 KachelY 17061 -2.45178067 1.37560520 -140.476685 78.816372
    Unten links KachelX 14389 KachelY + 1 17062 -2.45182860 1.37559590 -140.479431 78.815839
    Unten rechts KachelX + 1 14390 KachelY + 1 17062 -2.45178067 1.37559590 -140.476685 78.815839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37560520-1.37559590) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37560520-1.37559590) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45182860--2.45178067) × cos(1.37560520) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.193954035918909 × 6371000     		do = 59.2261981343786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45182860--2.45178067) × cos(1.37559590) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.193963159309266 × 6371000     		du = 59.2289840713783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37560520)-sin(1.37559590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193954035918909-0.193963159309266)×R²
    abs(-2.45178067--2.45182860)×9.12339035660792e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.12339035660792e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.12339035660792e-06×40589641000000     		ar = 3509.25254119069m²