Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14388 / 11318
↖ ↑ ↗
← N 48.531157°
W 21.928711°		 ← 808.98 m → N 48.531157°
W 21.917725°		 →
↑
809.05 m
↓
↑
809.05 m
↓
N 48.523881°
W 21.928711°		 ← 809.10 m →
654 559 m²		 N 48.523881°
W 21.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439102172851562 y=0.345413208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439102172851562 × 215)
    floor (0.439102172851562 × 32768)
    floor (14388.5)     		tx = 14388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345413208007812 × 215)
    floor (0.345413208007812 × 32768)
    floor (11318.5)     		ty = 11318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14388 / 11318 ti = "15/14388/11318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14388/11318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14388 ÷ 215
    14388 ÷ 32768     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11318 ÷ 215
    11318 ÷ 32768     		y = 0.34539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34539794921875 × 2 - 1) × π
    0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971393333900818))-π/2
    2×atan(2.64162255861299)-π/2
    2×1.20891240321019-π/2
    2.41782480642038-1.57079632675     		φ = 0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14388 KachelY 11318 -0.38272821 0.84702848 -21.928711 48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 14389 KachelY 11318 -0.38253646 0.84702848 -21.917725 48.531157
    Unten links KachelX 14388 KachelY + 1 11319 -0.38272821 0.84690149 -21.928711 48.523881
    Unten rechts KachelX + 1 14389 KachelY + 1 11319 -0.38253646 0.84690149 -21.917725 48.523881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84702848-0.84690149) × R
    0.000126989999999938 × 6371000     		dl = 809.053289999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84702848-0.84690149) × R
    0.000126989999999938 × 6371000     		dr = 809.053289999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38253646) × cos(0.84702848) × R
    0.000191749999999991 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 808.98499385408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38253646) × cos(0.84690149) × R
    0.000191749999999991 × 0.662307823839507 × 6371000     		du = 809.101233184388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84702848)-sin(0.84690149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662307823839507)×R²
    abs(-0.38253646--0.38272821)×9.51502911420432e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51502911420432e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51502911420432e-05×40589641000000     		ar = 654558.993624355m²