Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14388 / 11308
↖ ↑ ↗
← N 48.603857°
W 21.928711°		 ← 807.82 m → N 48.603857°
W 21.917725°		 →
↑
807.84 m
↓
↑
807.84 m
↓
N 48.596592°
W 21.928711°		 ← 807.94 m →
652 641 m²		 N 48.596592°
W 21.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439102172851562 y=0.345108032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439102172851562 × 215)
    floor (0.439102172851562 × 32768)
    floor (14388.5)     		tx = 14388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345108032226562 × 215)
    floor (0.345108032226562 × 32768)
    floor (11308.5)     		ty = 11308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14388 / 11308 ti = "15/14388/11308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14388/11308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14388 ÷ 215
    14388 ÷ 32768     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11308 ÷ 215
    11308 ÷ 32768     		y = 0.3450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3450927734375 × 2 - 1) × π
    0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97331080988562))-π/2
    2×atan(2.64669266578097)-π/2
    2×1.20954683560533-π/2
    2.41909367121065-1.57079632675     		φ = 0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14388 KachelY 11308 -0.38272821 0.84829734 -21.928711 48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 14389 KachelY 11308 -0.38253646 0.84829734 -21.917725 48.603857
    Unten links KachelX 14388 KachelY + 1 11309 -0.38272821 0.84817054 -21.928711 48.596592
    Unten rechts KachelX + 1 14389 KachelY + 1 11309 -0.38253646 0.84817054 -21.917725 48.596592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84829734-0.84817054) × R
    0.000126799999999982 × 6371000     		dl = 807.842799999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84829734-0.84817054) × R
    0.000126799999999982 × 6371000     		dr = 807.842799999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38253646) × cos(0.84829734) × R
    0.000191749999999991 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 807.822836403598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38253646) × cos(0.84817054) × R
    0.000191749999999991 × 0.661356478111909 × 6371000     		du = 807.939031903234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84829734)-sin(0.84817054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661356478111909)×R²
    abs(-0.38253646--0.38272821)×9.51144125698189e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51144125698189e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51144125698189e-05×40589641000000     		ar = 652640.796786709m²