Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14388 / 11306
N 48.618385°
W 21.928711°
← 807.59 m → N 48.618385°
W 21.917725°

807.65 m

807.65 m
N 48.611122°
W 21.928711°
← 807.71 m →
652 299 m²
N 48.611122°
W 21.917725°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439102172851562 y=0.345046997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439102172851562 × 215)
    floor (0.439102172851562 × 32768)
    floor (14388.5)
    tx = 14388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345046997070312 × 215)
    floor (0.345046997070312 × 32768)
    floor (11306.5)
    ty = 11306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14388 / 11306 ti = "15/14388/11306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14388/11306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14388 ÷ 215
    14388 ÷ 32768
    x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11306 ÷ 215
    11306 ÷ 32768
    y = 0.34503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535
    Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.34503173828125 × 2 - 1) × π
    0.3099365234375 × 3.1415926535
    Φ = 0.973694305082581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973694305082581))-π/2
    2×atan(2.64770785435365)-π/2
    2×1.20967361264524-π/2
    2.41934722529048-1.57079632675
    φ = 0.84855090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84855090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.618385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14388 KachelY 11306 -0.38272821 0.84855090 -21.928711 48.618385
    Oben rechts KachelX + 1 14389 KachelY 11306 -0.38253646 0.84855090 -21.917725 48.618385
    Unten links KachelX 14388 KachelY + 1 11307 -0.38272821 0.84842413 -21.928711 48.611122
    Unten rechts KachelX + 1 14389 KachelY + 1 11307 -0.38253646 0.84842413 -21.917725 48.611122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.84855090-0.84842413) × R
    0.000126769999999943 × 6371000
    dl = 807.651669999635m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.84855090-0.84842413) × R
    0.000126769999999943 × 6371000
    dr = 807.651669999635m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38253646) × cos(0.84855090) × R
    0.000191749999999991 × 0.661071132992903 × 6371000
    do = 807.59044310606m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38253646) × cos(0.84842413) × R
    0.000191749999999991 × 0.661166246157245 × 6371000
    du = 807.706637080812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.84855090)-sin(0.84842413))×
    abs(λ12)×abs(0.661071132992903-0.661166246157245)×
    abs(-0.38253646--0.38272821)×9.51131643424086e-05×
    0.000191749999999991×9.51131643424086e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51131643424086e-05×40589641000000
    ar = 652298.693052332m²