Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14387 / 9541
↖ ↑ ↗
← N 59.861368°
W 21.939697°		 ← 613.35 m → N 59.861368°
W 21.928711°		 →
↑
613.46 m
↓
↑
613.46 m
↓
N 59.855851°
W 21.939697°		 ← 613.45 m →
376 296 m²		 N 59.855851°
W 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439071655273438 y=0.291183471679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439071655273438 × 215)
    floor (0.439071655273438 × 32768)
    floor (14387.5)     		tx = 14387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291183471679688 × 215)
    floor (0.291183471679688 × 32768)
    floor (9541.5)     		ty = 9541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14387 / 9541 ti = "15/14387/9541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14387/9541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14387 ÷ 215
    14387 ÷ 32768     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9541 ÷ 215
    9541 ÷ 32768     		y = 0.291168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291168212890625 × 2 - 1) × π
    0.41766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31212881640018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31212881640018))-π/2
    2×atan(3.71407187948188)-π/2
    2×1.30778714205485-π/2
    2.61557428410969-1.57079632675     		φ = 1.04477796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04477796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.861368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14387 KachelY 9541 -0.38291995 1.04477796 -21.939697 59.861368
    Oben rechts KachelX + 1 14388 KachelY 9541 -0.38272821 1.04477796 -21.928711 59.861368
    Unten links KachelX 14387 KachelY + 1 9542 -0.38291995 1.04468167 -21.939697 59.855851
    Unten rechts KachelX + 1 14388 KachelY + 1 9542 -0.38272821 1.04468167 -21.928711 59.855851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04477796-1.04468167) × R
    9.62900000001099e-05 × 6371000     		dl = 613.4635900007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04477796-1.04468167) × R
    9.62900000001099e-05 × 6371000     		dr = 613.4635900007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38272821) × cos(1.04477796) × R
    0.000191739999999996 × 0.502093961793766 × 6371000     		do = 613.345702508945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38272821) × cos(1.04468167) × R
    0.000191739999999996 × 0.502177232316916 × 6371000     		du = 613.447423743229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04477796)-sin(1.04468167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502093961793766-0.502177232316916)×R²
    abs(-0.38272821--0.38291995)×8.32705231501585e-05×R²
    0.000191739999999996×8.32705231501585e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.32705231501585e-05×40589641000000     		ar = 376296.458000009m²