Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14385 / 21457
↖ ↑ ↗
← S 48.582059°
W 21.961670°		 ← 808.17 m → S 48.582059°
W 21.950683°		 →
↑
808.10 m
↓
↑
808.10 m
↓
S 48.589326°
W 21.961670°		 ← 808.06 m →
653 034 m²		 S 48.589326°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439010620117188 y=0.654830932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439010620117188 × 215)
    floor (0.439010620117188 × 32768)
    floor (14385.5)     		tx = 14385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654830932617188 × 215)
    floor (0.654830932617188 × 32768)
    floor (21457.5)     		ty = 21457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14385 / 21457 ti = "15/14385/21457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14385/21457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14385 ÷ 215
    14385 ÷ 32768     		x = 0.438995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21457 ÷ 215
    21457 ÷ 32768     		y = 0.654815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.12200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38330345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.30963134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.972735567090179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38330345} λ = -0.38330345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972735567090179))-π/2
    2×atan(0.37804744812865)-π/2
    2×0.361439725143792-π/2
    0.722879450287585-1.57079632675     		φ = -0.84791688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38330345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.961670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84791688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.582059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14385 KachelY 21457 -0.38330345 -0.84791688 -21.961670 -48.582059
    Oben rechts KachelX + 1 14386 KachelY 21457 -0.38311170 -0.84791688 -21.950683 -48.582059
    Unten links KachelX 14385 KachelY + 1 21458 -0.38330345 -0.84804372 -21.961670 -48.589326
    Unten rechts KachelX + 1 14386 KachelY + 1 21458 -0.38311170 -0.84804372 -21.950683 -48.589326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84791688--0.84804372) × R
    0.000126839999999961 × 6371000     		dl = 808.097639999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84791688--0.84804372) × R
    0.000126839999999961 × 6371000     		dr = 808.097639999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38330345--0.38311170) × cos(-0.84791688) × R
    0.000191749999999991 × 0.661546720029414 × 6371000     		do = 808.171438896653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38330345--0.38311170) × cos(-0.84804372) × R
    0.000191749999999991 × 0.661451596890788 × 6371000     		du = 808.055232736925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84791688)-sin(-0.84804372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661546720029414-0.661451596890788)×R²
    abs(-0.38311170--0.38330345)×9.51231386253637e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51231386253637e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51231386253637e-05×40589641000000     		ar = 653034.480401787m²