Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14385 / 10290
↖ ↑ ↗
← N 76.778142°
W100.980835°		 ← 139.70 m → N 76.778142°
W100.975342°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
N 76.776886°
W100.980835°		 ← 139.71 m →
19 519 m²		 N 76.776886°
W100.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219505310058594 y=0.157020568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219505310058594 × 216)
    floor (0.219505310058594 × 65536)
    floor (14385.5)     		tx = 14385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157020568847656 × 216)
    floor (0.157020568847656 × 65536)
    floor (10290.5)     		ty = 10290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14385 / 10290 ti = "16/14385/10290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14385/10290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14385 ÷ 216
    14385 ÷ 65536     		x = 0.219497680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10290 ÷ 216
    10290 ÷ 65536     		y = 0.157012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.561004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76244805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157012939453125 × 2 - 1) × π
    0.68597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15505125931924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76244805} λ = -1.76244805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15505125931924))-π/2
    2×atan(8.628332450081)-π/2
    2×1.45541385202903-π/2
    2.91082770405805-1.57079632675     		φ = 1.34003138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76244805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34003138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.778142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14385 KachelY 10290 -1.76244805 1.34003138 -100.980835 76.778142
    Oben rechts KachelX + 1 14386 KachelY 10290 -1.76235218 1.34003138 -100.975342 76.778142
    Unten links KachelX 14385 KachelY + 1 10291 -1.76244805 1.34000945 -100.980835 76.776886
    Unten rechts KachelX + 1 14386 KachelY + 1 10291 -1.76235218 1.34000945 -100.975342 76.776886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34003138-1.34000945) × R
    2.19300000001699e-05 × 6371000     		dl = 139.716030001082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34003138-1.34000945) × R
    2.19300000001699e-05 × 6371000     		dr = 139.716030001082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76244805--1.76235218) × cos(1.34003138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228722259750919 × 6371000     		do = 139.700758982622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76244805--1.76235218) × cos(1.34000945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228743608369327 × 6371000     		du = 139.713798457651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34003138)-sin(1.34000945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228722259750919-0.228743608369327)×R²
    abs(-1.76235218--1.76244805)×2.1348618407524e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1348618407524e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1348618407524e-05×40589641000000     		ar = 19519.3463459613m²