Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14384 / 10269
↖ ↑ ↗
← N 76.804501°
W100.986328°		 ← 139.44 m → N 76.804501°
W100.980835°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
N 76.803247°
W100.986328°		 ← 139.45 m →
19 439 m²		 N 76.803247°
W100.980835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219490051269531 y=0.156700134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219490051269531 × 216)
    floor (0.219490051269531 × 65536)
    floor (14384.5)     		tx = 14384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156700134277344 × 216)
    floor (0.156700134277344 × 65536)
    floor (10269.5)     		ty = 10269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14384 / 10269 ti = "16/14384/10269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14384/10269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14384 ÷ 216
    14384 ÷ 65536     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10269 ÷ 216
    10269 ÷ 65536     		y = 0.156692504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156692504882812 × 2 - 1) × π
    0.686614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15706460910329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15706460910329))-π/2
    2×atan(8.64572180090479)-π/2
    2×1.45564387548547-π/2
    2.91128775097094-1.57079632675     		φ = 1.34049142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34049142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.804501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14384 KachelY 10269 -1.76254393 1.34049142 -100.986328 76.804501
    Oben rechts KachelX + 1 14385 KachelY 10269 -1.76244805 1.34049142 -100.980835 76.804501
    Unten links KachelX 14384 KachelY + 1 10270 -1.76254393 1.34046954 -100.986328 76.803247
    Unten rechts KachelX + 1 14385 KachelY + 1 10270 -1.76244805 1.34046954 -100.980835 76.803247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34049142-1.34046954) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34049142-1.34046954) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76244805) × cos(1.34049142) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.228274390433063 × 6371000     		do = 139.441749242366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76244805) × cos(1.34046954) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.228295692677232 × 6371000     		du = 139.454761749744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34049142)-sin(1.34046954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228274390433063-0.228295692677232)×R²
    abs(-1.76244805--1.76254393)×2.13022441691024e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.13022441691024e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.13022441691024e-05×40589641000000     		ar = 19438.7354074668m²