Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14383 / 21859
↖ ↑ ↗
← S 51.419764°
W 21.983642°		 ← 761.79 m → S 51.419764°
W 21.972656°		 →
↑
761.78 m
↓
↑
761.78 m
↓
S 51.426615°
W 21.983642°		 ← 761.67 m →
580 271 m²		 S 51.426615°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438949584960938 y=0.667098999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438949584960938 × 215)
    floor (0.438949584960938 × 32768)
    floor (14383.5)     		tx = 14383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667098999023438 × 215)
    floor (0.667098999023438 × 32768)
    floor (21859.5)     		ty = 21859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14383 / 21859 ti = "15/14383/21859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14383/21859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14383 ÷ 215
    14383 ÷ 32768     		x = 0.438934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21859 ÷ 215
    21859 ÷ 32768     		y = 0.667083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.33416748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04981810167923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38368694} λ = -0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04981810167923))-π/2
    2×atan(0.350001407989639)-π/2
    2×0.33667607371993-π/2
    0.673352147439861-1.57079632675     		φ = -0.89744418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89744418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.419764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14383 KachelY 21859 -0.38368694 -0.89744418 -21.983642 -51.419764
    Oben rechts KachelX + 1 14384 KachelY 21859 -0.38349520 -0.89744418 -21.972656 -51.419764
    Unten links KachelX 14383 KachelY + 1 21860 -0.38368694 -0.89756375 -21.983642 -51.426615
    Unten rechts KachelX + 1 14384 KachelY + 1 21860 -0.38349520 -0.89756375 -21.972656 -51.426615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89744418--0.89756375) × R
    0.000119569999999958 × 6371000     		dl = 761.780469999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89744418--0.89756375) × R
    0.000119569999999958 × 6371000     		dr = 761.780469999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38368694--0.38349520) × cos(-0.89744418) × R
    0.000191739999999996 × 0.623609978429055 × 6371000     		do = 761.786696148844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38368694--0.38349520) × cos(-0.89756375) × R
    0.000191739999999996 × 0.623516501842158 × 6371000     		du = 761.672507436729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89744418)-sin(-0.89756375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623609978429055-0.623516501842158)×R²
    abs(-0.38349520--0.38368694)×9.34765868962906e-05×R²
    0.000191739999999996×9.34765868962906e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.34765868962906e-05×40589641000000     		ar = 580270.734757248m²