Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14380 / 21814
↖ ↑ ↗
← S 51.110420°
W 22.016602°		 ← 766.97 m → S 51.110420°
W 22.005615°		 →
↑
766.88 m
↓
↑
766.88 m
↓
S 51.117317°
W 22.016602°		 ← 766.86 m →
588 129 m²		 S 51.117317°
W 22.005615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438858032226562 y=0.665725708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438858032226562 × 215)
    floor (0.438858032226562 × 32768)
    floor (14380.5)     		tx = 14380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665725708007812 × 215)
    floor (0.665725708007812 × 32768)
    floor (21814.5)     		ty = 21814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14380 / 21814 ti = "15/14380/21814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14380/21814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14380 ÷ 215
    14380 ÷ 32768     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21814 ÷ 215
    21814 ÷ 32768     		y = 0.66571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.3314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04118945974762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04118945974762))-π/2
    2×atan(0.353034511779279)-π/2
    2×0.339375608651054-π/2
    0.678751217302109-1.57079632675     		φ = -0.89204511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89204511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.110420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14380 KachelY 21814 -0.38426219 -0.89204511 -22.016602 -51.110420
    Oben rechts KachelX + 1 14381 KachelY 21814 -0.38407044 -0.89204511 -22.005615 -51.110420
    Unten links KachelX 14380 KachelY + 1 21815 -0.38426219 -0.89216548 -22.016602 -51.117317
    Unten rechts KachelX + 1 14381 KachelY + 1 21815 -0.38407044 -0.89216548 -22.005615 -51.117317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89204511--0.89216548) × R
    0.000120369999999981 × 6371000     		dl = 766.877269999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89204511--0.89216548) × R
    0.000120369999999981 × 6371000     		dr = 766.877269999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38407044) × cos(-0.89204511) × R
    0.000191749999999991 × 0.627821514230362 × 6371000     		do = 766.971403778206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38407044) × cos(-0.89216548) × R
    0.000191749999999991 × 0.62772781880953 × 6371000     		du = 766.856941774572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89204511)-sin(-0.89216548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627821514230362-0.62772781880953)×R²
    abs(-0.38407044--0.38426219)×9.36954208322627e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36954208322627e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36954208322627e-05×40589641000000     		ar = 588129.047853381m²