Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14380 / 21211
↖ ↑ ↗
← S 46.762443°
W 22.016602°		 ← 836.85 m → S 46.762443°
W 22.005615°		 →
↑
836.77 m
↓
↑
836.77 m
↓
S 46.769968°
W 22.016602°		 ← 836.74 m →
700 202 m²		 S 46.769968°
W 22.005615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438858032226562 y=0.647323608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438858032226562 × 215)
    floor (0.438858032226562 × 32768)
    floor (14380.5)     		tx = 14380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647323608398438 × 215)
    floor (0.647323608398438 × 32768)
    floor (21211.5)     		ty = 21211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14380 / 21211 ti = "15/14380/21211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14380/21211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14380 ÷ 215
    14380 ÷ 32768     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21211 ÷ 215
    21211 ÷ 32768     		y = 0.647308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.29461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.925565657864044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925565657864044))-π/2
    2×atan(0.396307181386338)-π/2
    2×0.377318864638938-π/2
    0.754637729277876-1.57079632675     		φ = -0.81615860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81615860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.762443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14380 KachelY 21211 -0.38426219 -0.81615860 -22.016602 -46.762443
    Oben rechts KachelX + 1 14381 KachelY 21211 -0.38407044 -0.81615860 -22.005615 -46.762443
    Unten links KachelX 14380 KachelY + 1 21212 -0.38426219 -0.81628994 -22.016602 -46.769968
    Unten rechts KachelX + 1 14381 KachelY + 1 21212 -0.38407044 -0.81628994 -22.005615 -46.769968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81615860--0.81628994) × R
    0.000131340000000035 × 6371000     		dl = 836.767140000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81615860--0.81628994) × R
    0.000131340000000035 × 6371000     		dr = 836.767140000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38407044) × cos(-0.81615860) × R
    0.000191749999999991 × 0.685024790427807 × 6371000     		do = 836.853171209592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38407044) × cos(-0.81628994) × R
    0.000191749999999991 × 0.684929100734778 × 6371000     		du = 836.736272924767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81615860)-sin(-0.81628994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685024790427807-0.684929100734778)×R²
    abs(-0.38407044--0.38426219)×9.56896930295326e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56896930295326e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56896930295326e-05×40589641000000     		ar = 700202.327357636m²