Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14380 / 10269
↖ ↑ ↗
← N 76.804501°
W101.008301°		 ← 139.43 m → N 76.804501°
W101.002808°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
N 76.803247°
W101.008301°		 ← 139.44 m →
19 437 m²		 N 76.803247°
W101.002808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219429016113281 y=0.156700134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219429016113281 × 216)
    floor (0.219429016113281 × 65536)
    floor (14380.5)     		tx = 14380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156700134277344 × 216)
    floor (0.156700134277344 × 65536)
    floor (10269.5)     		ty = 10269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14380 / 10269 ti = "16/14380/10269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14380/10269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14380 ÷ 216
    14380 ÷ 65536     		x = 0.21942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10269 ÷ 216
    10269 ÷ 65536     		y = 0.156692504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.5611572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76292742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156692504882812 × 2 - 1) × π
    0.686614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15706460910329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76292742} λ = -1.76292742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15706460910329))-π/2
    2×atan(8.64572180090479)-π/2
    2×1.45564387548547-π/2
    2.91128775097094-1.57079632675     		φ = 1.34049142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76292742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34049142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.804501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14380 KachelY 10269 -1.76292742 1.34049142 -101.008301 76.804501
    Oben rechts KachelX + 1 14381 KachelY 10269 -1.76283155 1.34049142 -101.002808 76.804501
    Unten links KachelX 14380 KachelY + 1 10270 -1.76292742 1.34046954 -101.008301 76.803247
    Unten rechts KachelX + 1 14381 KachelY + 1 10270 -1.76283155 1.34046954 -101.002808 76.803247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34049142-1.34046954) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34049142-1.34046954) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76292742--1.76283155) × cos(1.34049142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228274390433063 × 6371000     		do = 139.427205880717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76292742--1.76283155) × cos(1.34046954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228295692677232 × 6371000     		du = 139.440217030929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34049142)-sin(1.34046954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228274390433063-0.228295692677232)×R²
    abs(-1.76283155--1.76292742)×2.13022441691024e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13022441691024e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13022441691024e-05×40589641000000     		ar = 19436.7080049094m²